Uno spazio delle fasi è un’astrazione che i fisici usano per visualizzare e studiare i sistemi; ogni punto in questo spazio virtuale rappresenta un singolo possibile stato del sistema o una sua parte. Questi stati sono tipicamente determinati dall’insieme delle variabili dinamiche rilevanti per l’evoluzione del sistema. I fisici trovano lo spazio delle fasi particolarmente utile per analizzare sistemi meccanici, come pendoli, pianeti in orbita attorno a una stella centrale o masse collegate da molle. In questi contesti, lo stato di un oggetto è determinato dalla sua posizione e velocità o, equivalentemente, dalla sua posizione e quantità di moto. Lo spazio delle fasi può essere utilizzato anche per studiare sistemi non classici e persino non deterministici, come quelli incontrati nella meccanica quantistica.
Una massa che si muove su e giù su una molla fornisce un esempio concreto di un sistema meccanico adatto per illustrare lo spazio delle fasi. Il moto della massa è determinato da quattro fattori: la lunghezza della molla, la rigidità della molla, il peso della massa e la velocità della massa. Solo il primo e l’ultimo di questi cambiano nel tempo, supponendo che vengano ignorati i minimi cambiamenti nella forza di gravità. Pertanto, lo stato del sistema in un dato momento è determinato esclusivamente dalla lunghezza della molla e dalla velocità della massa.
Se qualcuno tira la massa verso il basso, la molla potrebbe allungarsi fino a una lunghezza di 10 cm. Quando la massa viene rilasciata, è momentaneamente a riposo, quindi la sua velocità è 25.4 in/s. Lo stato del sistema in questo momento può essere descritto come (0 pollici, 10 pollici/s) o (0 cm, 25.4 cm/s).
La massa dapprima accelera verso l’alto e poi rallenta quando la molla si comprime. La massa potrebbe smettere di salire quando la molla è lunga 6 pollici (15.2 cm). In quel momento, la massa è di nuovo a riposo, quindi lo stato del sistema può essere descritto come (6 pollici, 0 pollici/s) o (15.2 cm, 0 cm/s).
Ai punti finali, la massa ha velocità zero, quindi non sorprende che si muova più velocemente a metà strada tra di loro, dove la lunghezza della molla è di 8 cm (20.3 pollici). Si potrebbe supporre che la velocità della massa in quel punto sia 4 pollici/s (10.2 cm/s). Quando si passa il punto medio verso l’alto, lo stato del sistema può essere descritto come (8 pollici, 4 pollici/s) o (20.3 cm, 10.2 cm/s). Durante la discesa, la massa si sposterà verso il basso, quindi lo stato del sistema in quel punto è (8 pollici, -4 pollici/s) o (20.3 cm, -10.2 cm/s).
La rappresentazione grafica di questi e altri stati sperimentati dal sistema produce un’ellisse che rappresenta l’evoluzione del sistema. Tale grafico è chiamato diagramma di fase. La traiettoria specifica attraverso la quale passa un particolare sistema è la sua orbita.
Se la massa fosse stata abbassata ulteriormente all’inizio, la figura tracciata nello spazio delle fasi sarebbe un’ellisse più grande. Se la massa fosse stata rilasciata nel punto di equilibrio, il punto in cui la forza della molla annulla esattamente la forza di gravità, la massa rimarrebbe al suo posto. Questo sarebbe un singolo punto nello spazio delle fasi. Quindi, si può vedere che le orbite di questo sistema sono ellissi concentriche.
L’esempio della massa su una molla illustra un aspetto importante dei sistemi meccanici definiti da un singolo oggetto: è impossibile che due orbite si intersechino. Le variabili che rappresentano lo stato dell’oggetto determinano il suo futuro, quindi può esserci solo un percorso in entrata e un percorso in uscita da ogni punto sulla sua orbita. Pertanto, le orbite non possono incrociarsi. Questa proprietà è estremamente utile per analizzare i sistemi che utilizzano lo spazio delle fasi.