Il valore attuale di un’annualità, o di un flusso finito di pagamenti di uguale entità, viene calcolato determinando il valore scontato di ciascun pagamento e sommandoli insieme. Questo valore tiene conto dei diversi momenti in cui vengono effettuati i pagamenti: un pagamento effettuato in futuro vale meno dello stesso importo nel presente a causa di fattori quali l’incertezza e il costo opportunità. Per calcolarlo, dividere l’importo del pagamento per 1 più il tasso di sconto per il primo periodo; questo è il valore attuale del primo periodo. Per il secondo periodo, dividere l’importo del pagamento per 1 più il tasso di sconto per il primo periodo moltiplicato per 1 più il tasso di sconto per il secondo periodo; ripetere per ogni periodo successivo.
Calcolando il valore attuale di un’annualità si ottiene la formula: PV = C / (1 + r1) + C / [(1 + r1) (1 + r2)] + C / [(1 + r1) (1 + r2) ( 1 + r3)] +… + C / [(1 + r1) (1 + r2)… (1 + rT-1) (1 + rT)]. Nella formula, C è l’importo del pagamento della rendita, chiamato anche cedola. Il tasso di sconto per ogni periodo è rappresentato da rt e T è il numero di periodi.
Se il tasso di sconto è costante per tutto il tempo in cui l’annualità effettua i pagamenti, è possibile utilizzare la formula PV = C / r * (1-1 / (1 + r) T). Questa formula è derivata dal metodo graduale di calcolo del valore attuale di un’annualità. Se il tasso di sconto è sempre r, il valore attuale del primo pagamento è C / (1 + r). Il valore attuale del secondo pagamento è C / (1 + r) ^ 2 e così via. Pertanto, il valore attuale di un’annualità è rappresentato da: PV = C / (1 + r) + C / (1 + r) 2 +… + C / (1 + r) T-1 + C / (1 + r) ) T.
Una rendita può essere pensata come una rendita perpetua troncata. Ciò significa che sarebbe una serie infinita se i pagamenti non si interrompessero mai. Poiché i pagamenti delle rendite sono finiti, è necessario calcolare la somma di una serie finita. Per fare ciò, calcola la somma delle serie infinite come se i pagamenti continuassero per sempre, quindi sottrai la somma delle serie infinite che rappresenta i pagamenti che non verranno mai effettuati. Il valore attuale della serie di pagamenti dopo la fine dell’annualità è calcolato con la formula: PV = C / (1 + r) T + 1 + C / (1 + r) T + 2 +…
La somma di una serie geometrica infinita in cui i termini sono descritti da A (1 / b) k, dove k varia da zero a infinito, è rappresentata da A / (1- (1 / b)). Per un’annualità con un tasso di sconto costante, A è C / (1 + r) eb è (1 + r). La somma è C / r. Per la serie di pagamenti che non verranno mai effettuati, A è C / (1 + r) T + 1 eb è (1 + r). La somma è C / [r * (1 + r) T]. La differenza dà il valore attuale di una rendita che è finita: C / r * [1-1 / (1 + r) T].
Le formule per il valore attuale di un’annualità vengono utilizzate per calcolare i pagamenti per prestiti ad ammortamento completo, o prestiti in cui un numero finito di pagamenti di uguale dimensione ripaga l’interesse e il capitale. Un esempio di prestito completamente ammortizzato è un mutuo residenziale. Poiché i pagamenti vengono spesso effettuati mensilmente mentre le tariffe sono annualizzate, è necessario modificare i numeri quando si effettuano i calcoli. Usa il numero di pagamenti per T e dividi r per il numero di pagamenti all’anno. Se il numero di pagamenti è incerto, come in una rendita vitalizia, i dati attuariali vengono utilizzati per stimare il numero di pagamenti che verranno effettuati e tale numero viene utilizzato per calcolare il valore attuale.
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