Un insieme di Mandlebrot è un frattale che può essere tracciato utilizzando una funzione complessa iterativa. Un frattale è un’immagine generata matematicamente che è ruvida, irregolare e complessa. Un frattale possiede anche auto-similarità su molti livelli di ingrandimento, in modo che parti minuscole del frattale assomiglino a parti più grandi. I frattali continuano ad apparire complessi, non importa quanto li ingrandisci, portando alcuni a dire che hanno una complessità infinita. L’insieme di Mandlebrot è l’esempio più famoso di frattale, costituito da un cardoide, un oggetto circolare con una fossetta su un lato, circondato da disposizioni progressivamente più piccole di cerchi vicini e interessanti motivi a spirale, tutti tangenti l’uno all’altro.
La matematica alla base dell’insieme di Mandlebrot fu ideata nel 1905 da Pierre Fatou, un matematico francese che esplorava il campo delle dinamiche analitiche complesse. Gli piaceva studiare il comportamento dei processi ricorsivi, funzioni i cui output venivano reimmessi nei loro input. Fatou ha tentato di tracciare manualmente alcuni dei suoi set complessi, ma sono stati necessari troppi calcoli per visualizzare l’immagine completa di alcuni set (incluso il set di Mandlebrot). Non è stato fino alla distribuzione dei computer desktop che la trama di questo set è diventata pratica.
Il set di Mandlebrot è stato tracciato per la prima volta dal professor Benoît Mandlebrot, un matematico che ha coniato il termine frattale e ha reso popolare l’idea in un libro del 1975 intitolato Fractal Objects: Form, Chance and Dimension. Prima di essere chiamate frattali, queste strutture venivano chiamate “curve mostruose”.
Mandlebrot ha visto le connessioni tra i frattali come il suo set di Mandlebrot e i fenomeni del mondo reale, spingendolo a studiare le connessioni in dettaglio. In natura si possono trovare strutture simili a frattali, ad esempio nella disposizione dei petali su alcuni fiori. Mandlebrot ha sottolineato che le forme reali in natura non hanno mai la blanda regolarità delle strutture geometriche euclidee, ma in realtà assomigliano più da vicino ai frattali. Altri esempi includono forme trovate in coste e fiumi, piante, vasi sanguigni e polmoni, ammassi di galassie, moto browniano e modelli nel mercato azionario.
Poiché il set di Mandlebrot è così complesso e mostra tale variazione, gli hobbisti hanno dedicato migliaia di ore a individuare strutture uniche all’interno del set, codificarle a colori e condividerle con gli altri. Strutture simili nell’aspetto all’intero insieme possono essere trovate sulle scale più piccole, a volte collegate all’insieme principale solo da minuscoli viticci. L’apparente complessità del set in realtà aumenta con l’ingrandimento. Oggi sono disponibili buone applicazioni software per gli hobbisti per tracciare il set di Mandlebrot e altri frattali e per studiarne l’aspetto.