Ein Planimeter ist ein Instrument, das verwendet wird, um die Fläche einer zweidimensionalen Form zu messen, die normalerweise für eine manuelle Messung zu komplex ist. Das Gerät mechanisiert den Prozess der Flächenberechnung unter Verwendung einer Formel, die als Theorem von Green bekannt ist. Während ein Planimeter selbst in einem kleinen physischen Bereich verwendet werden kann, wird er häufiger in einer maßstabsgetreuen Darstellung wie einer Karte verwendet.
Der Schlüssel zur Funktion eines Planimeters ist der Satz von Green, benannt nach dem britischen Mathematiker George Green. Als etwas vereinfachte Erklärung funktioniert die Verwendung des Theorems, indem eine Fläche in so viele Rechtecke unterteilt wird, wie es passt. Die restlichen Bereiche bestehen aus der geraden Kante eines Rechtecks und einer gekrümmten Kante entlang der Außenseite des Bereichs.
Die Berechnung der Flächen der Rechtecke wäre für die menschliche Berechnung einfach genug. Die Berechnung des Bereichs der gekrümmten Abschnitte ist jedoch komplizierter. Der Satz von Green verwendet die verfügbaren Informationen, um die Fläche dieser Abschnitte zu berechnen. Obwohl es nach rechnerischen Maßstäben vergleichsweise einfach ist, wäre das Theorem von Green so kompliziert und zeitaufwändig, dass es für die menschliche Berechnung einer Fläche weitgehend unpraktisch wäre.
Ein Planimeter automatisiert diesen Vorgang. In seiner gebräuchlichsten Form, einem Polarplanimeter, ähnelt es einem menschlichen Arm von der Schulter bis zum Handgelenk. Die „Schulter“ ist normalerweise ein Metallzylinder, der in seiner Position fixiert, aber drehbar ist. Das „Handgelenk“ ist ein beweglicher Zeiger, der verwendet wird, um den Bereich zu verfolgen. Der „Ellbogen“ ist ein Scharnier, das sich in beide Richtungen bewegen kann.
Diese Einstellung bedeutet, dass das Scharnier sowohl von der Richtung als auch von der Entfernung beeinflusst wird, die der Zeiger zurücklegt. Der Planimeter hat ein Rad in der Nähe des „Ellenbogens“, das diese Daten misst. Dieses Rad gleitet oder dreht sich, je nachdem, in welche Richtung sich der Zeiger bewegt.
Während sich das Rad dreht, misst ein angeschlossenes Display seine Drehungen. Die Anzahl der Umdrehungen ist proportional zur abgedeckten Fläche. Es ist so eingerichtet, dass die Zahl auf der Skala die Größe des Bereichs anzeigt, sobald der Zeiger den gesamten Umfang des Bereichs durchlaufen hat. Diese mechanische Operation beseitigt die Notwendigkeit, die Fläche mit dem Satz von Green zu berechnen.
Theoretisch kann man mit einem Planimeter lebensgroße zweidimensionale Flächen vermessen. In der Praxis ist dies bei Flächen, die so klein sind, dass dies praktikabel wäre, wenig gefragt. In der Realität wird normalerweise ein Planimeter auf einer maßstabsgetreuen Zeichnung der Fläche verwendet. Dies kann oft das Messen einer Landfläche mit einem Planimeter auf einer Karte beinhalten. Es kann auch von einem Zeichner bei Plänen für ein Gebäude verwendet werden.