Eine ganze Zahl ist das, was allgemein als ganze Zahl bekannt ist. Es kann positiv, negativ oder die Zahl Null sein, aber es muss ganz sein. In einigen Fällen schließt die Definition der ganzen Zahl die Zahl Null oder sogar die Menge negativer Zahlen aus, aber dies ist nicht so üblich wie die umfassendere Verwendung des Begriffs. Ganzzahlen sind die Zahlen, mit denen die Menschen am besten vertraut sind, und sie spielen in praktisch jeder Mathematik eine entscheidende Rolle.
Um zu verstehen, was eine ganze Zahl ist – d. h. warum sie sich von einer „Zahl“ unterscheidet – müssen wir uns die anderen Zahlenmengen ansehen, die existieren können. Viele dieser Mengen überschneiden sich in einigen Bereichen mit der Ganzzahlmenge, und einige sind praktisch identisch. Andere haben sehr wenig mit einer ganzen Zahl gemein – diese Art von Zahlen ist den meisten Menschen viel weniger bekannt.
Die Teilmenge der positiven ganzen Zahlen ist wahrscheinlich die älteste Menge von Zahlen. Diese Gruppe wird oft als die Menge der Zählzahlen bezeichnet, da dies die Zahlen sind, mit denen Dinge und Ideen gezählt werden. Die Zahlen in der positiven Menge sind alle ganzen Zahlen über Null. Die Menge würde also für immer als {1, 2, 3, 4 …} usw. aufgeführt. Wie die Menge der ganzen Zahlen selbst sind die positiven ganzen Zahlen unendlich. Da die Leute so weit zurückgezählt haben, wie wir wissen, gibt es dieses Set auch schon sehr lange. Obwohl nicht bekannt war, dass es unendlich ist, war die Menge immer noch im Wesentlichen dieselbe.
Eine sehr eng verwandte Menge ist die Menge aller nicht-negativen ganzen Zahlen. Diese Menge ist identisch mit der Menge positiver Ganzzahlen, außer dass sie auch Null enthält. Historisch gesehen war die Zahl Null eine Innovation, die erst nach der weiten Verbreitung der Zählzahlen entstand.
Beide Mengen können als Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet werden. Einige Mathematiker ziehen es vor, Null aus den natürlichen Zahlen auszuschließen, während andere es nützlich finden, sie einzuschließen. Wenn wir die umfassendere Definition betrachten, können wir eine ganze Zahl als jedes Mitglied der Menge natürlicher Zahlen sowie als ihre negativen Gegenstücke definieren.
Außer der ganzen Zahl finden wir andere Mengen, die komplizierter sind. Die nächste logische Folge ist die Menge aller rationalen Zahlen. Eine rationale Zahl ist jede Zahl, die als Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen diskutiert werden kann. Dies bedeutet, dass eine ganze Zahl selbst rational wäre – 2/2 ist ein Verhältnis, aber auch einfach gleich 1, während 8/2 ebenfalls ein Verhältnis und ebenfalls gleich 4 ist. Es bedeutet auch, dass Brüche rationale Zahlen sind – 3 /4 ist keine ganze Zahl, sondern eine rationale Zahl.
Der nächste Schritt wäre die Menge der reellen Zahlen. Diese könnten am einfachsten als jede Zahl beschrieben werden, die auf einem Zahlenstrahl platziert werden könnte. Dies würde jede ganze Zahl sowie jede rationale Zahl einschließen, da Brüche auf einem Zahlenstrahl platziert werden können. Dazu gehören auch Zahlen, die sich nicht einfach als Verhältnis zwischen zwei Zahlen ausdrücken lassen – zum Beispiel ergibt die Quadratwurzel aus zwei eine unendliche Folge von Ziffern nach dem Komma, die sich also nie angemessen als rationale Zahl beschreiben lässt. aber es ist eine reelle Zahl.
Die letzte Menge von Zahlen, die üblicherweise behandelt wird, ist die Menge der komplexen Zahlen. Diese Zahlen haben keinen eigentlichen Platz auf einem Zahlenstrahl, haben aber dennoch eine Verwendung in vielen mathematischen Prozessen. Komplexe Zahlen enthalten eine imaginäre Komponente, die normalerweise als i angegeben wird, wobei i2 gleich -1 ist.
Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen, und jede hat ihren Platz in der Welt der Mathematik und in den vielen Disziplinen, in denen sie verwendet wird. Eine ganze Zahl lässt sich am besten dadurch beschreiben, was sie ist und was sie nicht ist. Es ist jede ganze, positive Zahl, von eins bis zu einer unendlich großen Zahl. Eine ganze Zahl ist die Zahl Null. Es ist eine ganze negative Zahl, von der negativen Eins bis zu einer unendlich großen negativen Zahl. Es ist keine Zahl, die einen Rest hinter der Dezimalstelle hat. Eine ganze Zahl ist keine spezielle reelle Zahl wie Pi oder e. Und es ist keine komplexe oder irrationale Zahl.