Die Integralrechnung, auch Integration genannt, ist einer der beiden Zweige der Infinitesimalrechnung, der andere ist die Differenzierung. Differentiation beschreibt, wie sich der Wert einer Funktion in Bezug auf ihre Variablen ändert. Integration ist die Umkehrung, da sie die genaue Summe einer Funktion zwischen zwei Werten ergibt. Mit der Integralrechnung lässt sich die Fläche unter der Kurve einer mathematischen Funktion exakt berechnen. Integration hat ein breites Anwendungsspektrum in der Physik und im Ingenieurwesen.
Die beiden Pioniere der Infinitesimalrechnung waren die Wissenschaftler des 17. Jahrhunderts Isaac Newton und Gottfried Leibniz. Die heute verwendete mathematische Notation basiert auf den Arbeiten von Leibniz. Obwohl er zweifellos ein großartiger Wissenschaftler war, hatte Newton den Ruf, sehr konkurrenzfähig und rachsüchtig zu sein, und er war nicht bereit, dieses Verdienst mit seinem deutschen Zeitgenossen zu teilen. Newton nutzte seinen beträchtlichen Einfluss bei der Royal Society in London, um Leibniz direkt und indirekt Plagiat vorzuwerfen. Die Richtigkeit dieser Anschuldigungen wurde nie überprüft, aber die Kontroverse zerstörte Leibniz‘ Ruf.
Die Integration lässt sich am besten durch die Fläche unter der Kurve einer mathematischen Funktion beschreiben. Diesen Bereich kann man sich als Summe von vertikalen Streifen gleicher Breite vorstellen. Ein paar breite Streifen geben einen ungefähren Wert für die Fläche an; Erhöhen der Anzahl der Streifen durch Verringern ihrer Breite ergibt einen immer genaueren Wert für diesen Bereich. Die Integralrechnung arbeitet, indem sie berücksichtigt, wann die Breite dieser Streifen gegen 0 geht und daher die Anzahl der Streifen gegen unendlich geht. Die Summation unendlich vieler unendlich kleiner Streifen ergibt den exakten Wert für die Fläche.
Infinitesimalrechnung wird verwendet, um zu beschreiben, wie sich eine Funktion (f) in Abhängigkeit von der Zeit (t) ändert. Ist die Geschwindigkeit (v) eines Teilchens durch die Funktion v = f(t) definiert, so lässt sich durch Integration ermitteln, wie weit es zurückgelegt hat, da dies gleich der Fläche unter der Kurve ist. Die zurückgelegte Distanz zwischen zwei verschiedenen Punkten kann mit einem bestimmten Integral ermittelt werden.
Es gibt viele andere Anwendungen der Integralrechnung – so viele, dass eine vollständige Liste unmöglich wäre. In der Physik kann es verwendet werden, um die Arbeit eines Körpers zu berechnen, der sich in einer einfachen harmonischen Bewegung bewegt, oder um Gleichungen abzuleiten, die das Verhalten von Gasen beschreiben. Bauingenieure oder Maschinenbauingenieure können mit Integralrechnung die Bewegungen von Flüssigkeiten oder die Spannungsverteilungen der diese Flüssigkeiten führenden Rohre analysieren. Elektroingenieure verwenden Integralrechnung, um elektromagnetische Wellenformen zu analysieren.