La Conjetura de Poincaré es una de las conjeturas más importantes de la matemática moderna, y actualmente se ha demostrado adecuadamente hasta el punto de que se considera un teorema completo. Es uno de los siete Problemas del Premio del Milenio, declarado por el Clay Mathematics Institute en 2000. Hasta la fecha, es el único de los Problemas del Premio del Milenio que se ha resuelto, y su solución fue vista como uno de los descubrimientos más importantes del nuevo milenio.
A principios del siglo XX, un matemático francés, Henri Poincaré, comenzó a trazar lo que serviría como base para el campo matemático de la topología. Uno de sus principales enfoques fue en las propiedades de las esferas, y dedicó mucha atención y energía a delinear la esfera. Él planteó una serie de preguntas, pero la más famosa fue redactada como: “Considere una variedad compacta tridimensional V sin límite. ¿Es posible que el grupo fundamental de V sea trivial, aunque V no sea homeomorfo a la esfera tridimensional? » Aunque nunca hizo una declaración concreta de una forma u otra, esto se conocería como la Conjetura de Poincaré.
La forma más común de la Conjetura de Poincaré es simplemente: Cada 3-variedad cerrada simplemente conectada es homeomorfa a la 3-esfera. La Conjetura de Poincaré también se generalizó a dimensiones superiores a tres, de la forma n-esfera. Aunque originalmente se pensó que la Conjetura de Poincaré en sí misma sería cierta, se pensó que la Conjetura de Poincaré Generalizada resultaría falsa. Por lo tanto, fue una sorpresa cuando se probó la Conjetura de Poincaré Generalizada para dimensiones mayores de cuatro en 1961, y luego en 1982 cuando se demostró que el caso de las 4 esferas era cierto.
En 1982, Richard Hamilton demostró que la Conjetura de Poincaré era cierta en varios casos especializados, pero no pudo probarla de manera más general. En 2000, el Clay Mathematics Institute incluyó la Conjetura de Poincaré en su Millennium Prize Problems, ofreciendo un premio de $ 1,000,000 de dólares estadounidenses (USD) por una solución probada satisfactoriamente. En 2002 y 2003, el matemático Grigori Perelman publicó dos artículos que presentaban un boceto para una demostración de la Conjetura de Poincaré.
En 2006, varios grupos de trabajo llenaron pequeños vacíos incidentales en el trabajo de Perelman, y John Morgan y Gang Tian lo redactaron como una prueba detallada. Eventualmente expandieron esto en un libro sobre la Conjetura de Poincaré, y en 2006 Morgan declaró que Perelman había resuelto el problema en 2003. Por su trabajo, Perelman recibió la Medalla Fields, pero la rechazó. Aunque técnicamente también resolvió el Millennium Prize y, por lo tanto, es elegible para recibir el $ 1 millón de dólares, no ha realizado los pasos necesarios para reclamar el premio.
La resolución de la Conjetura de Poincaré se consideró un gran avance en matemáticas y una de las pruebas más importantes del nuevo milenio. A finales de 2006, la revista Science nombró la solución a la conjetura de Poincaré como el avance científico del año. Esta fue la primera vez que se otorgó el honor a un gran avance en matemáticas puras.