En mathématiques, un conjugué complexe est une paire de nombres à deux composants appelés nombres complexes. Chacun de ces nombres complexes possède une composante de nombre réel ajoutée à une composante imaginaire. Bien que leur valeur soit égale, le signe de l’une des composantes imaginaires de la paire de nombres conjugués complexes est opposé au signe de l’autre. Bien qu’ils aient des composants imaginaires, des conjugués complexes sont utilisés pour décrire des réalités physiques. L’utilisation de conjugués complexes fonctionne malgré la présence de composants imaginaires, car lorsque les deux composants sont multipliés ensemble, le résultat est un nombre réel.
Les nombres imaginaires sont définis comme tous les nombres qui, une fois mis au carré, donnent un nombre réel négatif. Ceci peut être reformulé en d’autres termes à des fins de simplification. Un nombre imaginaire est tout nombre réel multiplié par la racine carrée de moins un (-1) — en soi inintelligible. Sous cette forme, un conjugué complexe est une paire de nombres qui peuvent être écrits, y=a+bi et y=a–bi, où i est la racine carrée de -1. De manière formaliste, pour distinguer les deux valeurs y, l’une est généralement écrite avec une barre au-dessus de la lettre, , bien qu’un astérisque soit parfois utilisé.
Démontrer que la multiplication de deux nombres complexes conjugués produit un résultat réel, considérons un exemple, y=7+2i et =7–2i. En multipliant ces deux, on obtient yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Un tel résultat réel de la multiplication conjuguée complexe est important, en particulier dans l’examen des systèmes aux niveaux atomique et subatomique. Fréquemment, les expressions mathématiques pour de petits systèmes physiques incluent une composante imaginaire. La discipline dans laquelle cela est particulièrement important est la mécanique quantique, la physique non classique de l’infiniment petit.
En mécanique quantique, les caractéristiques d’un système physique constitué d’une particule sont décrites par une équation d’onde. Tout ce qu’il y a à apprendre sur la particule dans son système peut être révélé par ces équations. Fréquemment, les équations d’onde comportent une composante imaginaire. En multipliant l’équation par son conjugué complexe, on obtient une « densité de probabilité » physiquement interprétable. Les caractéristiques de la particule peuvent être déterminées en manipulant mathématiquement cette densité de probabilité.
A titre d’exemple, l’utilisation de la densité de probabilité est importante dans l’émission spectrale discrète de rayonnement à partir d’atomes. Une telle application de la densité de probabilité est appelée probabilité de Born, d’après le physicien allemand Max Born. L’importante interprétation statistique étroitement liée selon laquelle la mesure d’un système quantique donnera certains résultats spécifiques est appelée la règle de Born. Max Born a reçu le prix Nobel de physique 1954 pour ses travaux dans ce domaine. Malheureusement, les tentatives pour dériver la règle de Born à partir d’autres dérivations mathématiques ont rencontré des résultats mitigés.