Il logaritmo naturale è il logaritmo in base e. Il matematico scozzese John Napier (1550-1617) inventò il logaritmo. Sebbene non abbia introdotto personalmente il concetto di logaritmo naturale, la funzione è talvolta chiamata logaritmo di Napier. Il logaritmo naturale è utilizzato in numerose applicazioni scientifiche e ingegneristiche.
John Napier ha sviluppato il nome “logaritmo” come combinazione delle parole greche logos e arithmos. Le traduzioni in inglese sono rispettivamente “ratio” e “numbers”. Napier ha trascorso 20 anni a lavorare sulla sua teoria dei logaritmi e ha pubblicato il suo lavoro nel libro Mirifici Logarithmorum canonis descriptio nel 1614. La traduzione inglese del titolo è A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Il logaritmo naturale è caratterizzato come il logaritmo in base e, talvolta chiamato costante di Napier. Questo numero è anche noto come numero di Eulero. La lettera “e” è usata per onorare Leonhard Euler (1707-1783) e fu usata per la prima volta dallo stesso Euler in una lettera a Christian Goldbach nel 1731.
L’inversa della funzione esponenziale naturale, definita come f(x) = ex, è la funzione logaritmica naturale. Questa funzione è scritta come f(x) = ln(x). Questa stessa funzione può essere scritta come f(x) = loge(x), ma la notazione standard è f(x) = ln(x).
Il dominio del logaritmo naturale è (0, infinito) e l’intervallo è (-infinito, infinito). Il grafico di questa funzione è concavo, rivolto verso il basso. La funzione stessa è crescente, continua e biunivoca.
Il logaritmo naturale di 1 è uguale a 0. Supponendo che aeb siano numeri positivi, allora ln(a*b) è uguale a ln(a) + ln(b) e ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Se aeb sono numeri positivi e n è un numero razionale, allora ln(an) = n*ln(a). Queste proprietà dei logaritmi naturali sono caratteristiche di tutte le funzioni logaritmiche.
L’effettiva definizione della funzione logaritmica naturale si trova nell’integrale di 1/t dt. L’integrale va da 1 a x con x > 0. Il numero di Eulero, e, denota il numero reale positivo tale che l’integrale di 1/t dt da 1 a e è uguale a 1. Il numero di Eulero è un numero irrazionale ed è approssimativamente uguale a 2.7182818285.
La derivata della funzione logaritmica naturale rispetto a x è 1/x. La derivata rispetto a x dell’inversa della funzione logaritmica, la funzione esponenziale naturale, è sorprendentemente di nuovo la funzione esponenziale naturale. In altre parole, la funzione esponenziale naturale è la sua stessa derivata.