Eine Binomialverteilung mit den Parametern (n,p) gibt die diskrete Wahrscheinlichkeit an, x Erfolge aus n Versuchen zu haben, mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p, vorausgesetzt, jeder Versuch ist unabhängig und das Ergebnis eines Versuchs ist entweder ein Erfolg oder ein Misserfolg. Die durchschnittliche Anzahl von Erfolgen aus n Versuchen ist der Mittelwert np, und die Varianz beträgt np(1-p). Die Binomialverteilung gehört zu einer Familie von ereignisbezogenen Verteilungen, einschließlich der negativen Binomialverteilung und der Bernoulli-Verteilung. Da die Binomialverteilungswahrscheinlichkeit unter Verwendung der Fakultätsfunktion berechnet wird, die mit zunehmender Anzahl von Versuchen sehr groß wird, wird typischerweise eine Binomialverteilungs-Approximation einer Normal- oder einer Poisson-Verteilung verwendet.
Zum Beispiel wird eine faire Münze zweimal geworfen und ein Erfolg wird als Kopf definiert. Die Anzahl der Versuche beträgt n = 2 und die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf zu werfen, beträgt p = ½. Die Ergebnisse lassen sich in einer Binomialverteilungstabelle zusammenfassen: die Wahrscheinlichkeit, keine Köpfe zu bekommen, P(x = 0) beträgt 25 %, die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes, P(x = 1) beträgt 50 % und die Wahrscheinlichkeit von zwei Köpfen P(x = 2) beträgt 25 %. Die erwartete Anzahl von geworfenen Köpfen beträgt np = 2*1/2 = 1. Die Varianz beträgt np(1-p) = ½.
Andere Verteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen und gehören zur selben Familie wie das Binomial. Eine Bernoulli-Verteilung gibt die Erfolgswahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses an und entspricht einem Binomial mit n = 1. Die negative Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit von x Fehlern an, während das reguläre Binomial die Wahrscheinlichkeit von x Erfolgen angibt.
Oft wird die kumulative Dichtefunktion der Binomialverteilung verwendet, die die Wahrscheinlichkeit von x oder weniger Erfolgen in n Versuchen angibt. Die Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit ist für ein kleines n einfach, wird jedoch wegen des Binomialkoeffizienten mühsam, wenn n groß wird. Der Binomialkoeffizient lautet „n wähle x“ und bezieht sich auf die Anzahl von Kombinationen, bei denen x Ergebnisse aus n Möglichkeiten ausgewählt werden können. Sie wird mit der Fakultätsfunktion berechnet. Wenn die Anzahl der Versuche (n) größer als 70 wird, wird n Fakultät enorm und kann auf einem Standardrechner nicht mehr berechnet werden.
Die Näherung der Binomialverteilung, wenn n groß wird, kann diskret oder stetig sein. Wenn n sehr groß und p sehr klein ist, wird die Binomialverteilung zu einer diskreten Poisson-Verteilung. Wenn n ohne Einschränkung von p ausreichend groß ist, kann die Binomialnormalverteilungs-Approximation verwendet werden. Der binomiale Mittelwert und die Standardabweichung werden zu den Parametern der Normalverteilung, und bei der Berechnung der kumulativen Dichtefunktion wird eine Kontinuitätskorrektur angewendet.