Le matrici sono oggetti matematici che trasformano le forme. Il determinante di una matrice quadrata A, indicato con |A|, è un numero che riassume l’effetto che A ha sulla dimensione e sull’orientamento di una figura. Se [ab] è il vettore della riga superiore per A e [cd] è il vettore della riga inferiore, allora |A| = ad-bc.
Un determinante codifica informazioni utili su come una matrice trasforma le regioni. Il valore assoluto del determinante indica il fattore di scala della matrice, quanto allunga o rimpicciolisce una figura. Il suo segno descrive se la matrice capovolge le figure, producendo un’immagine speculare. Le matrici possono anche inclinare le regioni e ruotarle, ma questa informazione non è fornita dal determinante.
Aritmeticamente, l’azione di trasformazione di una matrice è determinata dalla moltiplicazione di matrici. Se A è una matrice 2 × 2 con riga superiore [ab] e riga inferiore [cd], allora [1 0] * A = [ab] e [0 1] * A = [cd]. Ciò significa che A porta il punto (1,0) al punto (a,b) e il punto (0,1) al punto (c,d). Tutte le matrici lasciano l’origine immutata, quindi si vede che A trasforma il triangolo con estremi in (0,0), (0,1) e (1,0) in un altro triangolo con estremi in (0,0), (a ,b), e (c,d). Il rapporto tra l’area di questo nuovo triangolo e quella del triangolo originale è uguale a |ad-bc|, il valore assoluto di |A|.
Il segno del determinante di una matrice descrive se la matrice capovolge una forma. Considerando il triangolo con estremi in (0,0), (0,1) e (1,0), se una matrice A mantiene stazionario il punto (0,1) portando il punto (1,0) al punto (-1,0), quindi ha capovolto il triangolo sulla linea x = 0. Poiché A ha capovolto la figura, |A| sarà negativo. La matrice non cambia la dimensione di una regione, quindi |A| deve essere -1 per essere coerente con la regola che il valore assoluto di |A| descrive quanto A allunga una figura.
L’aritmetica matriciale segue la legge associativa, il che significa che (v*A)*B = v*(A*B). Geometricamente, ciò significa che l’azione combinata di trasformare prima una forma con matrice A e poi trasformare la forma con matrice B equivale a trasformare la forma originale con il prodotto (A*B). Si può dedurre da questa osservazione che |A|*|B| = |A*B|.
L’equazione |A| * |B| = |A*B| ha una conseguenza importante quando |A| = 0. In tal caso l’azione di A non può essere annullata da qualche altra matrice B. Ciò può essere dedotto osservando che se A e B fossero inverse, allora (A*B) non estende né capovolge alcuna regione, quindi |A* B| = 1. Poiché |A| * |B| = |A*B|, quest’ultima osservazione porta all’equazione impossibile 0 * |B| = 1.
Si può anche dimostrare l’affermazione inversa: se A è una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora A ha un inverso. Geometricamente, questa è l’azione di qualsiasi matrice che non appiattisce una regione. Ad esempio, schiacciare un quadrato in un segmento di linea può essere annullato da un’altra matrice, chiamata inversa. Tale inverso è l’analogo matriciale di un reciproco.