Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus mit der Basis e. Der schottische Mathematiker John Napier (1550-1617) erfand den Logarithmus. Obwohl er das Konzept des natürlichen Logarithmus nicht selbst eingeführt hat, wird die Funktion manchmal als Napierscher Logarithmus bezeichnet. Der natürliche Logarithmus wird in zahlreichen wissenschaftlichen und technischen Anwendungen verwendet.
John Napier hat den Namen „Logarithmus“ als Kombination der griechischen Wörter logos und arithmos entwickelt. Die englischen Übersetzungen sind „Verhältnis“ bzw. „Zahlen“. Napier arbeitete 20 Jahre lang an seiner Theorie der Logarithmen und veröffentlichte seine Arbeit 1614 in dem Buch Mirifici Logarithmorum canonis descriptio. Die englische Übersetzung des Titels lautet A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Der natürliche Logarithmus wird als Logarithmus der Basis e bezeichnet, der manchmal als Napier-Konstante bezeichnet wird. Diese Zahl wird auch als Eulersche Zahl bezeichnet. Der Buchstabe „e“ wird zu Ehren von Leonhard Euler (1707-1783) verwendet und wurde erstmals 1731 von Euler selbst in einem Brief an Christian Goldbach verwendet.
Die Umkehrung der natürlichen Exponentialfunktion, definiert als f(x) = ex, ist die natürliche logarithmische Funktion. Diese Funktion wird als f(x) = ln(x) geschrieben. Dieselbe Funktion kann als f(x) = loge(x) geschrieben werden, aber die Standardnotation ist f(x) = ln(x).
Der Bereich des natürlichen Logarithmus ist (0, unendlich) und der Bereich ist (-unendlich, unendlich). Der Graph dieser Funktion ist konkav und zeigt nach unten. Die Funktion selbst ist ansteigend, stetig und eins zu eins.
Der natürliche Logarithmus von 1 ist gleich 0. Angenommen, a und b sind positive Zahlen, dann ist ln(a*b) gleich ln(a) + ln(b) und ln(a/b) = ln(a) – In(b). Wenn a und b positive Zahlen sind und n eine rationale Zahl ist, dann gilt ln(an) = n*ln(a). Diese Eigenschaften natürlicher Logarithmen sind charakteristisch für alle logarithmischen Funktionen.
Die eigentliche Definition der natürlichen logarithmischen Funktion findet sich im Integral von 1/t dt. Das Integral ist von 1 bis x mit x > 0. Die Eulersche Zahl, e, bezeichnet die positive reelle Zahl, so dass das Integral von 1/t dt von 1 bis e gleich 1 ist. Die Eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl und ist ungefähr gleich bis 2.7182818285.
Die Ableitung der natürlichen logarithmischen Funktion nach x ist 1/x. Die Ableitung nach x der Inversen der logarithmischen Funktion, der natürlichen Exponentialfunktion, ist überraschenderweise wieder die natürliche Exponentialfunktion. Mit anderen Worten, die natürliche Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung.