Die Poincaré-Vermutung ist eine der wichtigsten Vermutungen in der modernen Mathematik und wurde derzeit hinreichend demonstriert, so dass sie als vollständiger Satz angesehen wird. Es ist eines der sieben Millennium-Preis-Probleme, das vom Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 festgestellt wurde. Es ist bis heute das einzige der Millennium-Preis-Probleme, das gelöst wurde, und seine Lösung gilt als eine der wichtigsten Entdeckungen neues Jahrtausend.
Im frühen 20. Jahrhundert begann ein französischer Mathematiker, Henri Poincaré, die Grundlagen für das mathematische Gebiet der Topologie zu legen. Einer seiner Schwerpunkte waren die Eigenschaften von Kugeln, und er widmete der Gestaltung der Kugel viel Aufmerksamkeit und Energie. Er stellte eine Reihe von Fragen, aber die bekannteste lautete: „Betrachten Sie eine kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit V ohne Rand. Ist es möglich, dass die Fundamentalgruppe von V trivial ist, obwohl V nicht homöomorph zur dreidimensionalen Sphäre ist?“ Obwohl er nie eine konkrete Aussage machte, wurde dies als Poincaré-Vermutung bekannt.
Die häufigere Form der Poincaré-Vermutung ist einfach: Jede einfach zusammenhängende, geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. Die Poincaré-Vermutung wurde auch auf Dimensionen über drei verallgemeinert, der Form n-Kugel. Obwohl ursprünglich angenommen wurde, dass die Poincaré-Vermutung selbst wahr sein würde, wurde angenommen, dass sich die verallgemeinerte Poincaré-Vermutung als falsch herausstellen würde. Es war daher eine Überraschung, als 1961 die verallgemeinerte Poincaré-Vermutung für Dimensionen größer als vier bewiesen wurde und dann 1982, als sich der 4-Sphären-Fall als wahr erwies.
1982 zeigte Richard Hamilton, dass die Poincaré-Vermutung in einer Reihe von Spezialfällen zutrifft, konnte sie aber nicht allgemeiner beweisen. Im Jahr 2000 nahm das Clay Mathematics Institute die Poincaré-Vermutung in seine Millennium Prize Problems auf und vergab einen Preis in Höhe von 1,000,000 US-Dollar (USD) für eine zufriedenstellende Lösung. In den Jahren 2002 und 2003 veröffentlichte der Mathematiker Grigori Perelman zwei Aufsätze, die eine Skizze für einen Beweis der Poincaré-Vermutung entwarfen.
Im Jahr 2006 füllten eine Reihe von Arbeitsgruppen kleine zufällige Lücken in Perelmans Arbeit, und John Morgan und Gang Tian schrieben es als detaillierten Beweis. Sie erweiterten dies schließlich zu einem Buch über die Poincaré-Vermutung, und im Jahr 2006 erklärte Morgan, dass Perelman das Problem im Jahr 2003 gelöst habe. Für seine Arbeit wurde Perelman die Fields-Medaille verliehen, die er jedoch ablehnte. Obwohl er auch den Millennium-Preis technisch gelöst hat und daher berechtigt ist, die 1 Million US-Dollar zu erhalten, hat er nicht die notwendigen Schritte unternommen, um den Preis zu beanspruchen.
Die Lösung der Poincaré-Vermutung wurde als großer Durchbruch in der Mathematik und als einer der wichtigsten Beweise des neuen Jahrtausends angesehen. Ende 2006 kürte das Magazin Science die Lösung der Poincaré-Vermutung zum wissenschaftlichen Durchbruch des Jahres. Dies war das erste Mal, dass die Ehrung einem Durchbruch in der reinen Mathematik zuerkannt wurde.