Matrizen sind mathematische Objekte, die Formen transformieren. Die Determinante einer quadratischen Matrix A, mit |A| bezeichnet, ist eine Zahl, die die Wirkung von A auf die Größe und Ausrichtung einer Figur zusammenfasst. Wenn [ab] der obere Zeilenvektor für A und [cd] der unterste Zeilenvektor ist, dann ist |A| = ad-bc.
Eine Determinante kodiert nützliche Informationen darüber, wie eine Matrix Regionen transformiert. Der Absolutwert der Determinante gibt den Skalierungsfaktor der Matrix an, wie stark sie eine Figur streckt oder schrumpft. Sein Vorzeichen beschreibt, ob die Matrix Figuren umdreht und ein Spiegelbild ergibt. Matrizen können auch Regionen verzerren und drehen, aber diese Information wird nicht von der Determinante geliefert.
Arithmetisch wird die Transformationswirkung einer Matrix durch Matrixmultiplikation bestimmt. Wenn A eine 2 × 2-Matrix mit oberer Reihe [ab] und unterer Reihe [cd] ist, dann [1 0] * A = [ab] und [0 1] * A = [cd]. Das bedeutet, dass A den Punkt (1,0) zum Punkt (a,b) und den Punkt (0,1) zum Punkt (c,d) führt. Alle Matrizen lassen den Ursprung unverändert, so dass man sieht, dass A das Dreieck mit den Endpunkten bei (0,0), (0,1) und (1,0) in ein anderes Dreieck mit den Endpunkten bei (0,0), (a ,b) und (c,d). Das Verhältnis der Fläche dieses neuen Dreiecks zu der des ursprünglichen Dreiecks ist gleich |ad-bc|, dem Absolutwert von |A|.
Das Vorzeichen der Determinante einer Matrix beschreibt, ob die Matrix eine Form umdreht. Betrachten wir das Dreieck mit Endpunkten bei (0,0), (0,1) und (1,0), wenn eine Matrix A den Punkt (0,1) stationär hält, während der Punkt (1,0) zum Punkt (-1,0), dann hat es das Dreieck über die Gerade x = 0 gespiegelt. Da A die Figur gespiegelt hat, ist |A| wird negativ sein. Die Matrix ändert die Größe einer Region nicht, also |A| muss -1 sein, um der Regel zu entsprechen, dass der Absolutwert von |A| beschreibt, wie sehr A eine Figur dehnt.
Die Matrixarithmetik folgt dem Assoziativgesetz, dh (v*A)*B = v*(A*B). Geometrisch bedeutet dies, dass die kombinierte Aktion, zuerst eine Form mit Matrix A zu transformieren und dann die Form mit Matrix B zu transformieren, gleichbedeutend ist mit der Transformation der ursprünglichen Form mit dem Produkt (A*B). Aus dieser Beobachtung kann man ableiten, dass |A|*|B| = |A*B|.
Die Gleichung |A| * |B| = |A*B| hat eine wichtige Konsequenz, wenn |A| = 0. In diesem Fall kann die Aktion von A nicht durch eine andere Matrix B rückgängig gemacht werden. Dies kann daraus abgeleitet werden, dass, wenn A und B invers wären, (A*B) keine Region dehnt oder umdreht, also |A* B| = 1. Da |A| * |B| = |A*B|, diese letzte Beobachtung führt zur unmöglichen Gleichung 0 * |B| = 1.
Die umgekehrte Behauptung kann auch gezeigt werden: Wenn A eine quadratische Matrix mit einer Determinante ungleich Null ist, dann hat A eine Inverse. Geometrisch ist dies die Wirkung jeder Matrix, die einen Bereich nicht abflacht. Zum Beispiel kann das Zusammendrücken eines Quadrats in ein Liniensegment durch eine andere Matrix, die als Inverse bezeichnet wird, rückgängig gemacht werden. Ein solches Inverses ist das Matrixanalogon eines Kehrwerts.