Une bouteille de Klein est un type de surface non orientable, qui est souvent décrite comme ressemblant à un flacon à long col avec un col courbé passant à l’intérieur de lui-même pour s’ouvrir comme sa base. La forme unique d’une bouteille de Klein signifie qu’elle n’a qu’une seule surface – son intérieur est le même que son extérieur. Une bouteille de Klein ne peut pas vraiment exister dans un espace euclidien tridimensionnel, mais les représentations en verre soufflé peuvent nous donner un aperçu intéressant. Ce n’est pas une vraie bouteille de Klein, mais cela aide à visualiser ce que le mathématicien allemand Felix Klein a imaginé lorsqu’il a eu l’idée de la bouteille de Klein.
Une bouteille de Klein est décrite comme une surface non orientable, car si un symbole est attaché à la surface, il peut glisser de manière à revenir au même endroit qu’une image miroir. Si vous attachez un symbole à une surface orientable, comme l’extérieur d’une sphère, quelle que soit la façon dont vous déplacez le symbole, il conservera la même orientation. La forme spéciale de la bouteille de Klein vous permet de faire glisser le symbole de manière à ce qu’il prenne une orientation différente – il peut apparaître comme sa propre image miroir sur la même surface. Cette propriété de la bouteille de Klein est ce qui la rend non orientable.
La bouteille Klein porte le nom du mathématicien allemand Felix Klein. Les travaux de Felix Klein en mathématiques l’ont rendu très familier avec la bande de Möbius. Une bande de Möbius est un morceau de papier auquel on donne une demi-torsion et joint aux extrémités. Cette torsion transforme un morceau de papier ordinaire en une surface non orientable. Felix Klein a estimé que si vous deviez attacher deux bandes de Möbius ensemble le long des bords, vous créeriez un nouveau type de surface avec des propriétés tout aussi étranges – une surface de Klein ou une bouteille de Klein.
Malheureusement pour ceux d’entre nous qui aimeraient voir une vraie bouteille de Klein, elles ne peuvent pas être construites dans l’espace euclidien en 3D dans lequel nous vivons. Joindre les bords de deux bandes de Möbius pour construire la bouteille de Klein crée des intersections, qui ne peuvent pas être présentes dans le modèle théorique. Un modèle réel de la bouteille de Klein doit se croiser lorsque le goulot de la bouteille traverse le côté. Cela nous donne quelque chose qui n’est pas une vraie bouteille de Klein fonctionnelle, mais qui est quand même assez intéressante à examiner.
Étant donné que la bouteille de Klein partage bon nombre de ses propriétés étranges avec la bande de Möbius, ceux d’entre nous qui n’ont pas la compréhension approfondie des mathématiques nécessaires pour vraiment comprendre les complexités de la bouteille de Klein peuvent expérimenter avec la bande de Möbius pour avoir un aperçu de la découverte fascinante de Felix Klein. .