O valor presente de uma anuidade, ou um fluxo finito de pagamentos de tamanhos iguais, é calculado determinando-se o valor descontado de cada pagamento e somando-os. Esse valor leva em consideração os diferentes momentos em que os pagamentos são feitos – um pagamento feito no futuro vale menos do que o mesmo valor no presente devido a fatores como incerteza e custo de oportunidade. Para calculá-lo, divida o valor do pagamento por 1 mais a taxa de desconto do primeiro período; este é o valor presente do primeiro período. Para o segundo período, divida o valor do pagamento por 1 mais a taxa de desconto do primeiro período multiplicada por 1 mais a taxa de desconto do segundo período; repetir para cada período subsequente.
O cálculo do valor presente de uma anuidade produz a fórmula: PV = C / (1 + r1) + C / [(1 + r1) (1 + r2)] + C / [(1 + r1) (1 + r2) ( 1 + r3)] +… + C / [(1 + r1) (1 + r2)… (1 + rT-1) (1 + rT)]. Na fórmula, C é o valor do pagamento da anuidade, também chamado de cupom. A taxa de desconto para cada período é representada por rt e T é o número de períodos.
Se a taxa de desconto for constante durante todo o tempo durante o qual a anuidade faz pagamentos, você pode usar a fórmula PV = C / r * (1-1 / (1 + r) T). Esta fórmula é derivada do método passo a passo de cálculo do valor presente de uma anuidade. Se a taxa de desconto for sempre r, então o valor presente do primeiro pagamento é C / (1 + r). O valor presente do segundo pagamento é C / (1 + r) ^ 2 e assim por diante. Assim, o valor presente de uma anuidade é representado por: PV = C / (1 + r) + C / (1 + r) 2 +… + C / (1 + r) T-1 + C / (1 + r) ) T.
Uma anuidade pode ser considerada uma perpetuidade truncada. Isso significa que seria uma série infinita se os pagamentos nunca parassem. Como os pagamentos de anuidades são finitos, você precisa calcular a soma de uma série finita. Para fazer isso, calcule a soma da série infinita como se os pagamentos continuassem para sempre e, em seguida, subtraia a soma da série infinita que representa os pagamentos que nunca serão feitos. O valor presente da série de pagamentos após o término da anuidade é calculado com a fórmula: PV = C / (1 + r) T + 1 + C / (1 + r) T + 2 +…
A soma de uma série geométrica infinita em que os termos são descritos por A (1 / b) k, onde k varia de zero ao infinito, é representada por A / (1- (1 / b)). Para uma anuidade com uma taxa de desconto constante, A é C / (1 + r) e b é (1 + r). A soma é C / r. Para a série de pagamentos que nunca serão feitos, A é C / (1 + r) T + 1 e b é (1 + r). A soma é C / [r * (1 + r) T]. A diferença fornece o valor presente de uma anuidade finita: C / r * [1-1 / (1 + r) T].
As fórmulas para o valor presente de uma anuidade são usadas para calcular os pagamentos de empréstimos com amortização total, ou empréstimos nos quais um número finito de pagamentos de mesmo tamanho paga os juros e o principal. Um exemplo de empréstimo com amortização total é a hipoteca residencial. Como os pagamentos geralmente são feitos mensalmente, enquanto as taxas são anualizadas, você deve ajustar os números ao fazer os cálculos. Use o número de pagamentos para T e divida r pelo número de pagamentos por ano. Se o número de pagamentos for incerto, como em uma anuidade vitalícia, os dados atuariais são usados para estimar o número de pagamentos que serão feitos, e esse número é usado para calcular o valor presente.