Pi est la 16ème lettre de l’alphabet grec, mais il est surtout connu comme le symbole utilisé pour nommer une relation mathématique : le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. En tant que tel, c’est une constante mathématique et a de nombreuses utilisations. De toute évidence, il peut être utilisé pour calculer la circonférence d’un cercle à partir de son diamètre et vice-versa. D’autres exemples sont les formules pour trouver l’aire d’un cercle et le volume d’une sphère. Il est souvent représenté par la forme grecque de la lettre, , et reçoit généralement la valeur 3.14 ; cependant, ce n’est qu’une approximation, et le nombre a des propriétés fascinantes.
Valeur
La valeur précise de pi ne peut pas être indiquée. Aucune fraction ne lui est exactement équivalente et lorsqu’elle est exprimée en nombre décimal, il y a un nombre infini de chiffres après la virgule. Par conséquent, chaque fois que cela est nécessaire pour un calcul, une approximation doit être utilisée. La valeur utilisée dépend de la précision du calcul.
À certaines fins, 3.14 est acceptable, tandis que pour d’autres, une valeur correcte à, disons, huit décimales — 3.14159265 — peut être requise. Aucun calcul ne nécessite une valeur précise à plus de 40 décimales. De nombreuses personnes ont utilisé des ordinateurs pour effectuer des calculs records de la valeur de ; à partir de 2013, il a été calculé à 10 XNUMX milliards de décimales. Il n’y a cependant aucune application concevable qui nécessite une valeur aussi précise.
Les usages
Bien que pi soit défini en termes de diamètre d’un cercle, dans les formules mathématiques, c’est normalement le rayon, représenté par « r », qui est utilisé, de sorte que la formule pour la circonférence d’un cercle est 2πr, ou rayon multiplié par π fois deux. D’autres formules mathématiques courantes utilisant π sont les suivantes :
l’aire d’un cercle — πr2
la surface d’une sphère — 4πr2
le volume d’une sphère — 4/3πr3
La constante est également largement utilisée dans
physique
, statistiques et
ingénierie
.
Propriétés
Pi est un nombre irrationnel, ce qui signifie qu’il ne peut pas être exprimé sous la forme d’un rapport ou d’une fraction impliquant deux nombres entiers, tels que 2/5 ou 7/3. Certaines fractions sont des approximations proches, par exemple, 355/113 donne le nombre correct à 6 décimales ; cependant, une valeur exacte ne peut pas être obtenue de cette façon. Lorsque les nombres irrationnels sont exprimés sous forme de nombres décimaux, les chiffres après la virgule forment une séquence infinie et non répétitive.
C’est aussi un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il ne peut pas être une racine, ou une solution, d’aucune équation algébrique avec des coefficients rationnels. Les coefficients d’une équation sont simplement les nombres qui préfixent les symboles ; là où il n’y a pas de préfixe numérique, le coefficient est 1. Par exemple, dans l’équation 3x + y = 0, les coefficients de x et y sont 3 et 1, respectivement. Le fait que pi soit transcendantal est la preuve que l’ancien problème de « la quadrature du cercle » – construire un carré de même aire qu’un cercle en utilisant uniquement une règle et un compas – est insoluble.
La séquence de chiffres après la virgule semble aléatoire. De nombreuses tentatives ont été faites pour trouver des modèles dans ce nombre, mais toutes ont échoué. Le caractère aléatoire n’a pas été prouvé mais, à partir de 2013, la séquence, dans la mesure où elle a été calculée, passe tous les tests pour cela.
Histoire
Les anciens Babyloniens et les anciens Égyptiens utilisaient tous deux des approximations grossières de π, calculant des valeurs légèrement supérieures à 3.1. Archimède, l’ancien mathématicien grec, a trouvé que la valeur se situait entre 223/71 et 22/7. Pi a été trouvé irrationnel en 1770 par le mathématicien allemand Johann Lambert, et en 1882, le physicien Ferdinand Lindemann a montré qu’il s’agit d’un nombre transcendant. Ces dernières années, la valeur a été calculée avec un nombre toujours croissant de décimales, une tendance qui devrait se poursuivre avec la croissance de la puissance de calcul.
Faits intéressants sur π
Si la séquence de chiffres après la virgule dans est aléatoire, cela signifie, puisqu’elle est également infinie, que chaque séquence imaginable de nombres, quelle que soit sa longueur ou son improbabilité, doit se produire quelque part dans la série. En fait, chacun doit se produire un nombre infini de fois. Les chiffres peuvent être utilisés pour représenter d’autres caractères, tels que des lettres de l’alphabet et des signes de ponctuation. De cette façon, chaque séquence imaginable de caractères pourrait, en théorie, être trouvée dans pi en recherchant un nombre suffisant de chiffres. Ces séquences incluraient les œuvres complètes de Shakespeare, tous les manuels de mathématiques connus et cet article, ainsi qu’une infinité de livres qui n’ont pas encore été écrits.
Pour trouver quelque chose de significatif au-delà de quelques caractères, il faudrait cependant calculer pi avec un nombre inimaginable de décimales, plusieurs ordres de grandeur supérieurs à l’enregistrement actuel. Depuis 2013, il est possible pour n’importe qui, à l’aide d’un simple programme en ligne, de rechercher des chaînes de caractères dans les quatre premiers milliards de chiffres de π. La probabilité de trouver une séquence de caractères d’une longueur donnée se calcule facilement. Par exemple, la probabilité de trouver une séquence donnée de dix caractères dans les quatre premiers milliards de chiffres de pi est de 0.0003 %.
Jusqu’à présent, rien qui semble significatif n’a été trouvé dans pi. Il y a, cependant, une séquence de six 9 consécutifs, commençant au 762e chiffre. Ceci est connu comme le point Feynman et est nommé d’après le physicien Richard Feynman. Sa probabilité de se produire si tôt dans la séquence est de 0.0685 % ; néanmoins, on pense qu’il s’agit simplement d’un événement anormal.
De nombreuses personnes ont réussi à mémoriser π avec un grand nombre de décimales. En 2013, le record est considéré comme 67,890 14. La date du 3 mars (également écrite 14/XNUMX) a été désignée Pi Day aux États-Unis, avec diverses activités liées à pi. De la musique basée sur cette constante a été créée et des romans ont été écrits où les longueurs de mots sont les chiffres de dans la séquence correcte.