Qualsiasi spazio che non è completamente piatto è chiamato spazio curvo. La superficie di una sfera è uno spazio curvo, così come la superficie di una sella. Una sfera è un esempio di curvatura positiva, il che significa che se un triangolo è realizzato con linee rette in uno spazio curvo, la somma degli angoli sarà maggiore dei normali 180 gradi. Una sella è un esempio di spaziatura curva negativa. La gravità è causata dalla curvatura dello spazio: la massa curva lo spazio, costringendo gli oggetti a unirsi.
Il teorema di Pitagora viene spesso utilizzato per verificare se lo spazio è piatto o curvo. Questa formula matematica utilizza la lunghezza di ciascun lato di un triangolo invece degli angoli. Se le lunghezze corrispondono a ciò che afferma il teorema, allora il triangolo è nello spazio piatto. Se le lunghezze non corrispondono esattamente al teorema, allora il triangolo è nello spazio curvo. Gli angoli sono difficili da misurare su lunghe distanze, ma misurare i lati o il perimetro di un triangolo può facilmente mostrare la natura dello spazio.
La geometria euclidea è lo studio delle forme nello spazio piatto. Si basa su un elenco di informazioni di base, chiamate assiomi, e dimostra molti concetti matematici come il teorema di Pitagora. Gli assiomi sono spesso smentiti, nel senso che si dimostra che non sono sempre veri, nello spazio curvo o nella geometria non euclidea. Tutti i triangoli hanno 180 gradi nella geometria euclidea, che è facile da confutare nello spazio curvo misurando ogni angolo con un goniometro.
Lo spazio curvo gioca un ruolo importante nell’astronomia moderna. La gravità è considerata lo spazio curvo che circonda un grande corpo che fa orbitare o collidere oggetti più piccoli con il corpo grande. Questo non fu scoperto fino a quando Einstein pubblicò la sua Teoria della Relatività Generale che per primo descrisse la gravità come spazio curvo. Prima di questo, gli astronomi calcolavano le orbite in modo impreciso perché lo spazio veniva trattato come una forma euclidea tridimensionale. Gli astronomi moderni possono calcolare e prevedere molto di più con lo spazio non euclideo, come i buchi neri e il modo in cui si muovono le galassie.
Anche il padre della fisica, Isaac Newton, utilizzò la geometria euclidea. È stato l’unico modo per studiare le forme per oltre 2000 anni. Poi, alla fine del XIX secolo, l’assioma che le linee parallele non si incrociano mai fu smentito da Janos Bolyai. Einstein è stato in grado di comprendere la geometria non euclidea e come potrebbe essere utilizzata per prevedere correttamente la bizzarra orbita di Mercurio. La visione moderna è che le vere forme euclidee esistono solo in spazi lontani da qualsiasi corpo gravitazionale.