Il punto di flesso è un concetto importante nel calcolo differenziale. Nel punto di flesso, la curva di una funzione cambia la sua concavità – in altre parole, cambia dalla curvatura negativa a quella positiva, o viceversa. Questo punto può essere definito o visualizzato in diversi modi. Nelle applicazioni del mondo reale in cui un sistema viene modellato utilizzando una curva, trovare il punto di flesso è spesso fondamentale per anticipare il comportamento del sistema.
Le funzioni nel calcolo possono essere rappresentate graficamente su un piano costituito da un asse xey, chiamato piano cartesiano. In ogni data funzione, il valore x, o il valore che è l’input nell’equazione, produce un output, rappresentato dal valore y. Quando vengono rappresentati graficamente, questi valori formano una curva.
Una curva può essere concava verso l’alto o concava verso il basso, a seconda del comportamento della funzione su determinati valori. Una regione concava verso l’alto appare su un grafico come una curva a forma di ciotola che si apre verso l’alto, mentre una regione concava verso il basso si apre verso il basso. Il punto in cui questa concavità cambia è il punto di flesso.
Esistono diversi metodi che possono essere utili per visualizzare dove si trova il punto di flesso su una curva. Se si posizionasse un punto sulla curva con una linea retta tracciata attraverso di essa che tocca appena la curva – una linea tangente – e si facesse scorrere quel punto lungo il corso della curva, il punto di flesso si verificherebbe nel punto esatto in cui la tangente la linea interseca la curva.
Matematicamente, il punto di flesso è il punto in cui la derivata seconda cambia segno. La prima derivata di una funzione misura il tasso di variazione di una funzione al variare del suo input e la seconda derivata misura il modo in cui questo stesso tasso di variazione può variare. Ad esempio, la velocità di un’auto in un dato momento è rappresentata dalla prima derivata, ma la sua accelerazione – velocità crescente o decrescente – è rappresentata dalla seconda derivata. Se l’auto accelera, la sua seconda derivata è positiva, ma nel punto in cui smette di accelerare e inizia a rallentare, la sua accelerazione e la sua seconda derivata diventano negative. Questo è il punto di flesso.
Per visualizzarlo graficamente, è importante ricordare che la concavità della curva di una funzione è espressa dalla sua derivata seconda. Una seconda derivata positiva indica una curva concava verso l’alto e una seconda derivata negativa indica una curva concava verso il basso. È difficile individuare l’esatto punto di flesso su un grafico, quindi per le applicazioni in cui è necessario conoscerne il valore esatto, il punto di flesso può essere risolto matematicamente.
Un metodo per trovare il punto di flesso di una funzione consiste nel prendere la sua seconda derivata, porla uguale a zero e risolvere per x. Non tutti i valori zero in questo metodo saranno un punto di flesso, quindi è necessario testare i valori su entrambi i lati di x = 0 per assicurarsi che il segno della seconda derivata effettivamente cambi. In caso affermativo, il valore in x è un punto di flesso.