Der Wendepunkt ist ein wichtiger Begriff in der Differentialrechnung. Am Wendepunkt ändert die Kurve einer Funktion ihre Konkavität, dh sie ändert sich von negativer zu positiver Krümmung oder umgekehrt. Dieser Punkt kann auf unterschiedliche Weise definiert oder visualisiert werden. In realen Anwendungen, bei denen ein System unter Verwendung einer Kurve modelliert wird, ist das Auffinden des Wendepunkts oft entscheidend, um das Verhalten des Systems vorherzusagen.
Funktionen in der Infinitesimalrechnung können auf einer Ebene dargestellt werden, die aus einer x- und einer y-Achse besteht, die als kartesische Ebene bezeichnet wird. In jeder gegebenen Funktion erzeugt der x-Wert oder der Wert, der in die Gleichung eingegeben wird, eine Ausgabe, die durch den y-Wert dargestellt wird. Bei der grafischen Darstellung bilden diese Werte eine Kurve.
Eine Kurve kann entweder nach oben oder nach unten konkav sein, abhängig vom Verhalten der Funktion über bestimmte Werte. Ein konkaver nach oben gerichteter Bereich erscheint in einem Diagramm als schüsselartige Kurve, die sich nach oben öffnet, während ein konkaver nach unten gerichteter Bereich sich nach unten öffnet. Der Punkt, an dem sich diese Konkavität ändert, ist der Wendepunkt.
Es gibt verschiedene Methoden, die bei der Visualisierung hilfreich sein können, wo der Wendepunkt auf einer Kurve liegt. Würde man einen Punkt auf die Kurve legen, durch den eine gerade Linie gezogen ist, die die Kurve gerade berührt – eine Tangente – und diesen Punkt entlang des Kurvenverlaufs laufen lassen, würde der Wendepunkt genau dort liegen, wo die Tangente Linie kreuzt die Kurve.
Mathematisch ist der Wendepunkt der Punkt, an dem die zweite Ableitung das Vorzeichen ändert. Die erste Ableitung einer Funktion misst die Änderungsrate einer Funktion, wenn sich ihre Eingabe ändert, und die zweite Ableitung misst, wie sich diese Änderungsrate selbst ändern kann. Zum Beispiel wird die Geschwindigkeit eines Autos zu einem bestimmten Zeitpunkt durch die erste Ableitung repräsentiert, aber seine Beschleunigung – zunehmende oder abnehmende Geschwindigkeit – wird durch die zweite Ableitung repräsentiert. Wenn das Auto beschleunigt, ist seine zweite Ableitung positiv, aber an dem Punkt, an dem es aufhört zu beschleunigen und zu verlangsamen, werden seine Beschleunigung und seine zweite Ableitung negativ. Dies ist der Wendepunkt.
Um dies grafisch zu visualisieren, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Konkavität der Kurve einer Funktion durch ihre zweite Ableitung ausgedrückt wird. Eine positive zweite Ableitung zeigt eine konkave nach oben gerichtete Kurve an und eine negative zweite Ableitung zeigt eine nach unten konkave Kurve an. Es ist schwierig, den genauen Wendepunkt auf einem Graphen zu bestimmen, daher kann für Anwendungen, bei denen es notwendig ist, seinen genauen Wert zu kennen, der Wendepunkt mathematisch aufgelöst werden.
Eine Methode, den Wendepunkt einer Funktion zu finden, besteht darin, ihre zweite Ableitung zu nehmen, sie gleich Null zu setzen und nach x aufzulösen. Nicht jeder Nullwert in dieser Methode ist ein Wendepunkt, daher müssen die Werte auf beiden Seiten von x = 0 getestet werden, um sicherzustellen, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung tatsächlich ändert. Wenn dies der Fall ist, ist der Wert bei x ein Wendepunkt.