Eine gerade Funktion ist definiert als jede Funktion, in der die Aussage f(x) = f(-x) für alle reellen Werte von x gilt. Äquivalent ist eine gerade Funktion jede Funktion, die für alle reellen Werte von x definiert ist und eine reflexive Symmetrie um die y-Achse hat. Die Ungeradheit oder Gleichmäßigkeit von Funktionen ist hauptsächlich bei der grafischen Darstellung von Funktionen von Nutzen.
Eine Funktion ist eine Beziehung, die die Elemente aus einer Menge von Zahlen – dem Bereich – mit den Elementen einer anderen Menge – dem Bereich – in Beziehung setzt. Die Beziehung wird im Allgemeinen in Form einer mathematischen Gleichung definiert, bei der, wenn eine Zahl aus dem Bereich in die Gleichung eingefügt wird, ein einzelner Wert aus dem Bereich als Antwort gegeben wird. Als Beispiel gilt für die Funktion f(x) = 3×2 + 1, wenn x = 2 der aus dem Bereich gewählte Wert ist, f(x) = f(2) = 13. Wenn der Bereich und der Bereich beides sind aus der Menge der reellen Zahlen, dann kann die Funktion grafisch dargestellt werden, indem jeder Punkt (x, f(x)) aufgetragen wird, wobei die x-Koordinate aus dem Bereich der Funktion und die y-Koordinate der übereinstimmende Wert aus dem Bereich ist der Funktion.
Mit dem Konzept der geraden Funktion verwandt ist die ungerade Funktion. Eine ungerade Funktion ist eine Funktion, bei der die Aussage f(x) = -f (-x) für alle reellen Werte von x gilt. Wenn sie grafisch dargestellt werden, haben ungerade Funktionen Rotationssymmetrie um den Ursprung.
Obwohl die meisten Funktionen weder ungerade noch gerade sind, gibt es doch unendlich viele gerade Funktionen. Die konstante Funktion f(x) = c, bei der die Funktion nur einen Wert hat, egal welcher Wert aus dem Bereich gewählt wird, ist eine gerade Funktion. Die Potenzfunktionen f(x) = xn sind gerade, solange n eine gerade ganze Zahl ist. Unter den trigonometrischen Funktionen sind Cosinus und Sekante beide gerade Funktionen, ebenso wie die entsprechenden hyperbolischen Funktionen f(x) = cosh(x) = (ex + ex)/2 und f(x) = sech(x) = 2/ ( Ex + Ex).
Neue gerade Funktionen können aus anderen Funktionen erstellt werden, die als gerade Funktionen bekannt sind. Das Addieren oder Multiplizieren von zwei beliebigen geraden Funktionen erzeugt eine neue gerade Funktion. Wenn eine gerade Funktion mit einer Konstanten multipliziert wird, ist die resultierende Funktion gerade. Gerade Funktionen können auch aus ungeraden Funktionen erstellt werden. Wenn zwei bekanntermaßen ungerade Funktionen wie f(x) = x und g(x) = sin(x) miteinander multipliziert werden, ist die resultierende Funktion wie h(x) = x sin(x) gerade .
Durch Komposition können auch neue gerade Funktionen erstellt werden. Eine Kompositionsfunktion wie h(x) = g(f(x)) ist eine Funktion, bei der die Ausgabe einer Funktion – in diesem Fall f(x) – als Eingabe für die zweite Funktion – g(x ). Wenn die innerste Funktion gerade ist, ist die resultierende Funktion auch gerade, unabhängig davon, ob die äußere Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist. Die Exponentialfunktion g(x) = ex ist zum Beispiel weder ungerade noch gerade, aber weil der Kosinus eine gerade Funktion ist, ist es auch die neue Funktion h(x) = ecos(x).
Ein mathematisches Ergebnis besagt, dass jede für alle reellen Zahlen definierte Funktion als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion ausgedrückt werden kann. Wenn f(x) irgendeine Funktion ist, die für alle reellen Zahlen definiert ist, ist es möglich, zwei neue Funktionen zu konstruieren, g(x) = (f(x) + f(-x))/2 und h(x) = (f (x) – f(-x))/2. Daraus folgt g(-x) = (f(-x) + f(x))/2 = (f(x) + f(-x))/2 = g(x) und daher ist g(x) eine gleichmäßige Funktion. Ebenso ist h(-x) = (f(-x)-f(x))/2 = – (f(x)-f(-x))/2 = -h(x), also ist h(x) per Definition eine ungerade Funktion. Addiert man die Funktionen, ist g(x) + h (x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2 = 2 f( x) / 2 = f(x). Daher ist jede Funktion f(x) die Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion.