Jeder Raum, der nicht ganz flach ist, wird als gekrümmter Raum bezeichnet. Die Oberfläche einer Kugel ist ein gekrümmter Raum, ebenso wie die Oberfläche eines Sattels. Eine Kugel ist ein Beispiel für eine positive Krümmung, dh wenn ein Dreieck mit geraden Linien in einem gekrümmten Raum erstellt wird, addieren sich die Winkel zu mehr als den normalen 180 Grad. Ein Sattel ist ein Beispiel für einen negativen gekrümmten Abstand. Die Schwerkraft wird durch die Raumkrümmung verursacht – die Masse krümmt den Raum, was die Objekte dazu zwingt, sich zusammenzuziehen.
Der Satz des Pythagoras wird oft verwendet, um zu überprüfen, ob der Raum flach oder gekrümmt ist. Diese mathematische Formel verwendet die Länge jeder Seite eines Dreiecks anstelle von Winkeln. Wenn die Längen mit dem übereinstimmen, was der Satz sagt, befindet sich das Dreieck im flachen Raum. Stimmen die Längen nicht genau mit dem Satz überein, befindet sich das Dreieck im gekrümmten Raum. Winkel sind über große Entfernungen schwer zu messen, aber das Messen der Seiten oder des Umfangs eines Dreiecks kann leicht die Beschaffenheit des Raums anzeigen.
Die euklidische Geometrie ist das Studium von Formen im flachen Raum. Es basiert auf einer Liste grundlegender Informationen, die als Axiome bezeichnet werden, und beweist viele mathematische Konzepte wie den Satz des Pythagoras. Die Axiome werden oft widerlegt, was bedeutet, dass sie im gekrümmten Raum oder in der nichteuklidischen Geometrie nicht immer wahr sind. Alle Dreiecke haben 180 Grad in der euklidischen Geometrie, was im gekrümmten Raum leicht zu widerlegen ist, indem man jeden Winkel mit einem Winkelmesser misst.
Der gekrümmte Raum spielt in der modernen Astronomie eine wichtige Rolle. Die Schwerkraft wird als der gekrümmte Raum betrachtet, der einen großen Körper umgibt, der dazu führt, dass kleinere Objekte umkreisen oder mit dem großen Körper kollidieren. Dies wurde erst entdeckt, als Einstein seine Allgemeine Relativitätstheorie veröffentlichte, die die Gravitation zuerst als gekrümmten Raum beschrieb. Zuvor berechneten Astronomen Bahnen ungenau, weil der Weltraum als dreidimensionale euklidische Form behandelt wurde. Moderne Astronomen können mit dem nichteuklidischen Raum viel mehr berechnen und vorhersagen, wie Schwarze Löcher und die Bewegung von Galaxien.
Schon der Vater der Physik, Isaac Newton, nutzte die euklidische Geometrie. Es war über 2000 Jahre lang die einzige Möglichkeit, Formen zu studieren. Dann, im späten 19. Jahrhundert, wurde das Axiom, dass sich parallele Linien niemals kreuzen, von Janos Bolyai widerlegt. Einstein war in der Lage, die nichteuklidische Geometrie zu verstehen und zu verstehen, wie sie verwendet werden könnte, um die bizarre Umlaufbahn des Merkur korrekt vorherzusagen. Die moderne Ansicht ist, dass wahre euklidische Formen nur in Räumen existieren, die weit von jedem Gravitationskörper entfernt sind.