Viele Gleichungen können durch die Erweiterung von Logarithmen vereinfacht werden. Der Begriff „erweiternde Logarithmen“ bezieht sich nicht auf sich erweiternde Logarithmen, sondern auf einen Vorgang, bei dem ein mathematischer Ausdruck nach bestimmten Regeln durch einen anderen ersetzt wird. Es gibt drei solcher Regeln. Jeder von ihnen entspricht einer bestimmten Eigenschaft von Exponenten, da das Logarithmus die funktionale Umkehrung der Potenzierung ist: log3(9) = 2, weil 32 = 9.
Die gebräuchlichste Regel zum Expandieren von Logarithmen wird verwendet, um Produkte zu trennen. Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der jeweiligen Logarithmen: loga(x*y) = loga(x) + loga(y). Diese Gleichung leitet sich aus der Formel ax * ay = ax+y ab. Es kann auf mehrere Faktoren erweitert werden: loga(x*y*z*w) = loga(x) + loga(y) + loga(z) + loga(w).
Das Erhöhen einer Zahl in eine negative Potenz entspricht einer Potenzierung ihres Kehrwertes in eine positive Potenz: 5-2 = (1/5)2 = 1/25. Die äquivalente Eigenschaft für Logarithmen ist, dass loga(1/x) = -loga(x). Wenn diese Eigenschaft mit der Produktregel kombiniert wird, liefert sie ein Gesetz zum Logarithmus eines Verhältnisses: loga(x/y) = loga(x) – loga(y).
Die letzte Regel zum Expandieren von Logarithmen bezieht sich auf den Logarithmus einer potenzierten Zahl. Mit der Produktregel findet man loga(x2) = loga(x) + loga(x) = 2*loga(x). Analog gilt loga(x3) = loga(x) + loga(x) + loga(x) = 3*loga(x). Im Allgemeinen gilt loga(xn) = n*loga(x), auch wenn n keine ganze Zahl ist.
Diese Regeln können kombiniert werden, um Protokollausdrücke komplexeren Charakters zu erweitern. Zum Beispiel kann man die zweite Regel auf loga(x2y/z) anwenden und erhält den Ausdruck loga(x2y) – loga(z). Dann kann die erste Regel auf den ersten Term angewendet werden, was loga(x2) + loga(y) – loga(z) ergibt. Schließlich führt die Anwendung der dritten Regel zum Ausdruck 2*loga(x) + loga(y) – loga(z).
Durch das Erweitern von Logarithmen können viele Gleichungen schnell gelöst werden. Zum Beispiel könnte jemand ein Sparkonto mit 400 US-Dollar eröffnen. Wenn das Konto 2 Prozent jährliche Zinsen mit monatlicher Verzinsung zahlt, kann die Anzahl der Monate, die benötigt werden, bevor sich der Wert des Kontos verdoppelt, mit der Gleichung 400*(1 + 0.02/12)m = 800 ermittelt werden. Division durch 400 Erträge (1 + 0.02/ 12)m = 2. Der Logarithmus zur Basis 10 beider Seiten ergibt die Gleichung log10(1 + 0.02/12)m = log10(2).
Diese Gleichung kann mit der Potenzregel zu m*log10(1 + 0.02/12) = log10(2) vereinfacht werden. Die Berechnung der Logarithmen mit einem Taschenrechner ergibt m*(0.00072322) = 0.30102. Bei der Lösung von m stellt man fest, dass es 417 Monate dauert, bis sich der Wert des Kontos verdoppelt hat, wenn kein zusätzliches Geld eingezahlt wird.