Der Barwert einer Annuität oder eines endlichen Stroms gleich großer Zahlungen wird berechnet, indem der diskontierte Wert jeder Zahlung ermittelt und zusammengezählt wird. Dieser Wert berücksichtigt die unterschiedlichen Zeitpunkte, zu denen die Zahlungen erfolgen – eine Zahlung in der Zukunft ist aufgrund von Faktoren wie Unsicherheit und Opportunitätskosten weniger wert als derselbe Betrag in der Gegenwart. Um ihn zu berechnen, teilen Sie den Zahlungsbetrag durch 1 plus den Diskontsatz für die erste Periode; dies ist der Barwert der ersten Periode. Für die zweite Periode dividieren Sie den Zahlungsbetrag durch 1 plus den Diskontsatz für die erste Periode multipliziert mit 1 plus den Diskontsatz für die zweite Periode; für jede weitere Periode wiederholen.
Die Berechnung des Barwerts einer Annuität ergibt die Formel: PV = C/(1+r1) + C/[(1+r1)(1+r2)] + C/[(1+r1)(1+r2)( 1+r3)] + … + C/[(1+r1)(1+r2) … (1+rT-1)(1+rT)]. In der Formel ist C der Betrag der Rentenzahlung, auch Coupon genannt. Der Diskontsatz für jede Periode wird durch rt dargestellt, und T ist die Anzahl der Perioden.
Ist der Diskontsatz für den gesamten Zeitraum, in dem die Annuität gezahlt wird, konstant, dann können Sie die Formel PV = C/r*(1-1/(1+r)T) verwenden. Diese Formel leitet sich aus der schrittweisen Berechnung des Barwerts einer Annuität ab. Ist der Diskontsatz immer r, dann ist der Barwert der ersten Zahlung C/(1+r). Der Barwert der zweiten Zahlung beträgt C/(1+r)^2 usw. Somit wird der Barwert einer Annuität dargestellt durch: PV = C/(1+r) + C/(1+r)2 + … + C/(1+r)T-1 + C/(1+r )T.
Eine Annuität kann als verkürzte ewige Rente betrachtet werden. Dies bedeutet, dass es eine unendliche Reihe wäre, wenn die Zahlungen nie aufhören würden. Da Rentenzahlungen endlich sind, müssen Sie die Summe einer endlichen Reihe berechnen. Berechnen Sie dazu die Summe der unendlichen Reihen, als ob die Zahlungen ewig andauern würden, und ziehen Sie dann die Summe der unendlichen Reihe ab, die die Zahlungen darstellt, die niemals geleistet werden. Der Barwert der Zahlungsreihe nach dem Rentenstopp wird mit der Formel berechnet: PV = C/(1+r)T+1 + C/(1+r)T+2 + …
Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe, in der die Terme durch A(1/b)k beschrieben werden, wobei k von null bis unendlich variiert, wird durch A/(1-(1/b)) dargestellt. Für eine Annuität mit konstantem Diskontsatz ist A C/(1+r) und b ist (1+r). Die Summe ist C/r. Für die Reihe von Zahlungen, die niemals geleistet werden, ist A C/(1+r)T+1 und b ist (1+r). Die Summe ist C/[r*(1+r)T]. Die Differenz ergibt den Barwert einer endlichen Rente: C/r*[1-1/(1+r)T].
Mit den Formeln für den Barwert einer Annuität werden die Zahlungen für vollständig amortisierende Darlehen oder Darlehen, bei denen eine endliche Anzahl gleich großer Zahlungen die Zinsen und die Tilgung zurückzahlt, berechnet. Ein Beispiel für ein vollständig amortisierendes Darlehen ist eine Wohnbauhypothek. Da die Zahlungen häufig monatlich erfolgen, während die Raten annualisiert sind, müssen Sie die Zahlen bei der Berechnung anpassen. Verwenden Sie die Anzahl der Zahlungen für T und teilen Sie r durch die Anzahl der Zahlungen pro Jahr. Wenn die Zahl der Zahlungen ungewiss ist, wie bei einer lebenslangen Rente, werden versicherungsmathematische Daten verwendet, um die Zahl der Zahlungen zu schätzen, die zu leisten sind, und diese Zahl wird verwendet, um den Barwert zu berechnen.
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