El teorema de Bayes, a veces llamado regla de Bayes o principio de probabilidad inversa, es un teorema matemático que se deriva muy rápidamente de los axiomas de la teoría de la probabilidad. En la práctica, se utiliza para calcular la probabilidad actualizada de algún fenómeno o hipótesis objetivo H dados nuevos datos empíricos X y alguna información de antecedentes, o probabilidad previa.
La probabilidad previa de alguna hipótesis suele estar representada por algún porcentaje entre 0% y 100%, o algún número entre 0 y 1. Esta probabilidad a menudo se denomina grado de confianza y se supone que varía de un observador a otro, ya que no todos los observadores han tenido la misma experiencia y, por lo tanto, no pueden hacer estimaciones de probabilidad equivalentes para ninguna hipótesis dada. La aplicación del teorema de Bayes en un contexto científico se denomina inferencia bayesiana, que es una formalización cuantitativa del método científico. Permite la revisión óptima de distribuciones de probabilidad teóricas dados los resultados experimentales.
El teorema de Bayes en el contexto de la inferencia científica dice lo siguiente: “La nueva probabilidad de que alguna hipótesis H sea verdadera (llamada probabilidad posterior) dada la nueva evidencia X es igual a la probabilidad de que observemos esta evidencia X dado que H es realmente verdadera (llamada probabilidad condicional, o verosimilitud), multiplicada por la probabilidad previa de que H sea verdadera, todo dividido por la probabilidad de X «.
Una repetición común de lo anterior en términos de cómo el resultado de una prueba contribuye a la probabilidad de que un paciente determinado tenga cáncer puede mostrarse de la siguiente manera:
p (positivo | cáncer) * p (cáncer)
_______________________________________________
p (positivo | cáncer) * p (cáncer) + p (positivo | ~ cáncer) * p (~ cáncer)
La barra vertical significa «dado». La probabilidad de que el paciente tenga cáncer después de un resultado positivo en una determinada prueba de cáncer es equivalente a la probabilidad de un resultado positivo dado el cáncer (derivado de resultados pasados) multiplicado por la probabilidad previa de que una persona determinada tenga cáncer (relativamente baja), todo dividido por ese mismo número, más la probabilidad de un falso positivo multiplicado por la probabilidad previa de no tener cáncer.
Suena complicado, pero la ecuación anterior se puede utilizar para determinar la probabilidad actualizada de cualquier hipótesis dado cualquier resultado experimental cuantificable.