Les coefficients binomiaux définissent le nombre de combinaisons possibles lors de la sélection d’un certain nombre de résultats dans un ensemble d’une taille donnée. Ils sont utilisés dans le théorème du binôme, qui est une méthode pour développer un binôme – une fonction polynomiale contenant deux termes. Le triangle de Pascal, par exemple, est composé uniquement de coefficients binomiaux.
Mathématiquement, les coefficients binomiaux sont écrits comme deux nombres alignés verticalement dans un ensemble de parenthèses. Le nombre supérieur, représenté par n, est le nombre total de possibilités. Généralement représenté par r ou k, le nombre inférieur est le nombre de résultats non ordonnés à sélectionner parmi n. Les deux nombres sont positifs et n est supérieur ou égal à r.
Le coefficient binomial, ou le nombre de façons dont r peut être choisi à partir de n, est calculé à l’aide de factorielles. Une factorielle est un nombre multiplié par le prochain plus petit nombre multiplié par le prochain plus petit nombre, et ainsi de suite jusqu’à ce que la formule atteigne un. Il est représenté mathématiquement par n! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Le factoriel zéro est égal à un.
Pour un coefficient binomial, la formule est factorielle n (n!) divisée par le produit de (n – r)! fois r!, qui peut généralement être réduit. Si n est 5 et r est 2, par exemple, la formule est 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). Dans ce cas, 3*2*1 est à la fois au numérateur et au dénominateur, il peut donc être annulé de la fraction. Cela donne (5*4)/(2*1), ce qui équivaut à 10.
Le théorème binomial est un moyen de calculer le développement d’une fonction binomiale, représentée par (a + b)^n — a plus b à la puissance n; a et b peuvent être composés de variables, de constantes ou des deux. Pour développer le binôme, le premier terme du développement est le coefficient binomial de n et 0 fois a^n. Le deuxième terme est le coefficient binomial de n et 1 fois a^(n-1)b. Chaque terme suivant du développement est calculé en ajoutant 1 au nombre inférieur du coefficient binomial, en élevant a à la puissance n moins ce nombre et en élevant b à la puissance de ce nombre, en continuant jusqu’à ce que le nombre inférieur du coefficient soit égal à n.m.
Chaque nombre du triangle de Pascal est un coefficient binomial qui peut être calculé à l’aide de la formule des coefficients binomiaux. Le triangle commence par un 1 en haut et chaque nombre d’une rangée inférieure peut être calculé en additionnant les deux entrées en diagonale au-dessus. Le triangle de Pascal a plusieurs propriétés mathématiques uniques – en plus des coefficients binomiaux, il contient également des nombres de Fibonacci et des nombres figurés.