La théorie des ensembles constitue l’essentiel des fondements des mathématiques modernes et a été formalisée à la fin des années 1800. La théorie des ensembles décrit des idées très fondamentales et intuitives sur la façon dont les choses appelées éléments ou membres s’intègrent dans des groupes. Malgré l’apparente simplicité des idées, la théorie des ensembles est assez rigoureuse. En cherchant à éliminer tout arbitraire dans leurs théories, les mathématiciens ont affiné la théorie des ensembles à un degré impressionnant au fil des ans.
En théorie des ensembles, un ensemble est tout groupe bien défini d’éléments ou de membres. Les ensembles sont généralement symbolisés par des lettres majuscules en italique comme A ou B. Si deux ensembles contiennent les mêmes membres, ils peuvent être affichés comme équivalents avec un signe égal.
Le contenu d’un ensemble peut être décrit en anglais simple : A = tous les mammifères terrestres. Le contenu peut également être indiqué entre parenthèses : A = {ours, vaches, cochons, etc.} Pour les grands ensembles, des points de suspension peuvent être utilisés, lorsque le motif de l’ensemble est évident. Par exemple, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Un type d’ensemble a zéro membre, l’ensemble connu sous le nom d’ensemble vide. Il est symbolisé par un zéro avec une ligne diagonale ascendante de gauche à droite. Bien qu’apparemment trivial, il s’avère mathématiquement assez important.
Certains ensembles contiennent d’autres ensembles et sont donc étiquetés comme des sur-ensembles. Les ensembles contenus sont des sous-ensembles. En théorie des ensembles, cette relation est appelée inclusion ou confinement, symbolisée par une notation qui ressemble à la lettre U tournée de 90 degrés vers la droite. Graphiquement, cela peut être représenté comme un cercle contenu dans un autre cercle plus grand.
Certains ensembles courants dans la théorie des ensembles incluent N, l’ensemble de tous les nombres naturels; Z, l’ensemble de tous les nombres entiers ; Q, l’ensemble de tous les nombres rationnels ; R, l’ensemble de tous les nombres réels ; et C, l’ensemble de tous les nombres complexes.
Lorsque deux ensembles se chevauchent mais qu’aucun n’est complètement intégré dans l’autre, le tout est appelé une union d’ensembles. Ceci est représenté par un symbole similaire à la lettre U, mais légèrement plus large. En notation ensembliste, AUB signifie l’ensemble des éléments qui sont membres de A ou de B. Retournez ce symbole et vous obtenez l’intersection de A et B, qui fait référence à tous les éléments qui sont membres des deux ensembles. Dans la théorie des ensembles, les ensembles peuvent également être «soustraits» les uns des autres, ce qui donne des compléments. Par exemple, B – A est équivalent à l’ensemble des éléments qui sont membres de B mais pas A.
À partir des fondements ci-dessus, la plupart des mathématiques sont dérivées. Presque tous les systèmes mathématiques contiennent des propriétés qui peuvent être décrites fondamentalement en termes de théorie des ensembles.