Le logarithme népérien est le logarithme de base e. Le mathématicien écossais John Napier (1550-1617) a inventé le logarithme. Bien qu’il n’ait pas introduit lui-même le concept de logarithme népérien, la fonction est parfois appelée logarithme népérien. Le logarithme népérien est utilisé dans de nombreuses applications scientifiques et techniques.
John Napier a développé le nom logarithme comme une combinaison des mots grecs logos et arithmos. Les traductions anglaises sont respectivement ratio et numbers. Napier a passé 20 ans à travailler sur sa théorie des logarithmes et a publié son travail dans le livre Mirifici Logarithmorum canonis descriptio en 1614. La traduction anglaise du titre est A Description of the Marvelous Rule of Logarithms.
Le logarithme népérien est caractérisé comme le logarithme de base e, qui est parfois appelé constante de Napier. Ce nombre est également connu sous le nom de nombre d’Euler. La lettre e est utilisée pour honorer Leonhard Euler (1707-1783) et a été utilisée pour la première fois par Euler lui-même dans une lettre à Christian Goldbach en 1731.
L’inverse de la fonction exponentielle naturelle, définie comme f(x) = ex, est la fonction logarithmique naturelle. Cette fonction s’écrit f(x) = ln(x). Cette même fonction peut être écrite sous la forme f(x) = loge(x), mais la notation standard est f(x) = ln(x).
Le domaine du logarithme népérien est (0, infini) et la plage est (-infini, infini). Le graphique de cette fonction est concave, orienté vers le bas. La fonction elle-même est croissante, continue et univoque.
Le logarithme népérien de 1 est égal à 0. En supposant que a et b sont des nombres positifs, alors ln(a*b) est égal à ln(a) + ln(b) et ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Si a et b sont des nombres positifs et n est un nombre rationnel, alors ln(an) = n*ln(a). Ces propriétés des logarithmes naturels sont caractéristiques de toutes les fonctions logarithmiques.
La définition réelle de la fonction logarithmique naturelle peut être trouvée dans l’intégrale de 1/t dt. L’intégrale est de 1 à x avec x > 0. Le nombre d’Euler, e, désigne le nombre réel positif tel que l’intégrale de 1/t dt de 1 à e est égale à 1. Le nombre d’Euler est un nombre irrationnel et est approximativement égal au 2.7182818285.
La dérivée de la fonction logarithmique naturelle par rapport à x est 1/x. La dérivée par rapport à x de l’inverse de la fonction logarithmique, la fonction exponentielle naturelle, est étonnamment à nouveau la fonction exponentielle naturelle. En d’autres termes, la fonction exponentielle naturelle est sa propre dérivée.