Un entier est ce qu’on appelle plus communément un nombre entier. Il peut être positif, négatif ou le nombre zéro, mais il doit être entier. Dans certains cas, la définition du nombre entier exclura le nombre zéro, ou même l’ensemble des nombres négatifs, mais ce n’est pas aussi courant que l’utilisation plus inclusive du terme. Les nombres entiers sont les nombres que les gens connaissent le mieux, et ils jouent un rôle crucial dans pratiquement toutes les mathématiques.
Pour comprendre ce qu’est un nombre entier — c’est-à-dire pourquoi il est différent d’un simple nombre — nous devons examiner les autres ensembles de nombres qui peuvent exister. Beaucoup de ces ensembles se chevauchent avec l’ensemble entier dans certaines zones, et certains sont pratiquement identiques. D’autres ont très peu de points communs avec un nombre entier – ces types de nombres ont tendance à être beaucoup moins familiers à la plupart des gens.
Le sous-ensemble d’entiers positifs est probablement le plus ancien ensemble de nombres. Ce groupe est souvent appelé l’ensemble des nombres de comptage, car ce sont les nombres utilisés pour compter les choses et les idées. Les nombres dans l’ensemble positif sont tous les nombres entiers au-dessus de zéro. Ainsi, l’ensemble serait répertorié comme {1, 2, 3, 4 …} et ainsi de suite, pour toujours. Comme l’ensemble des entiers lui-même, les entiers positifs sont infinis. Puisque les gens ont compté aussi loin que nous le sachions, cet ensemble existe également depuis très longtemps. Bien qu’il n’ait peut-être pas été connu pour être infini, l’ensemble était toujours essentiellement le même.
Un ensemble très proche est l’ensemble de tous les entiers non négatifs. Cet ensemble est identique à l’ensemble des entiers positifs, sauf qu’il comprend également zéro. Historiquement, le nombre zéro était une innovation qui s’est produite un peu après que les nombres de comptage aient été largement utilisés.
Ces deux ensembles peuvent être appelés ensemble des nombres naturels. Certains mathématiciens préfèrent exclure zéro des nombres naturels, tandis que d’autres trouvent utile de l’inclure. Si nous considérons la définition la plus inclusive, nous pouvons alors définir un entier comme n’importe quel membre de l’ensemble des nombres naturels, ainsi que leurs homologues négatifs.
Au-delà de l’entier, on trouve d’autres ensembles plus compliqués. La prochaine progression logique est l’ensemble de tous les nombres rationnels. Un nombre rationnel est n’importe quel nombre qui peut être considéré comme un rapport entre deux nombres entiers. Cela signifie qu’un entier lui-même serait rationnel – 2/2 est un rapport, mais est aussi simplement égal à 1, tandis que 8/2 est également un rapport, et également égal à 4. Cela signifie également que les fractions sont des nombres rationnels – 3 /4 n’est pas un entier, mais c’est un nombre rationnel.
La prochaine étape serait l’ensemble des nombres réels. Ceux-ci pourraient plus facilement être décrits comme n’importe quel nombre pouvant être placé sur une droite numérique. Cela inclurait n’importe quel nombre entier, ainsi que n’importe quel nombre rationnel, car les fractions peuvent être placées sur une droite numérique. Il comprend en outre des nombres qui ne peuvent pas être exprimés simplement comme le rapport entre deux nombres – par exemple, la racine carrée de deux produit une chaîne de chiffres après la virgule décimale qui s’étend à l’infini, de sorte qu’elle ne peut jamais être décrite de manière adéquate comme un nombre rationnel, mais c’est un vrai nombre.
Le dernier ensemble de nombres généralement traité est l’ensemble des nombres complexes. Ces nombres n’ont pas de place réelle sur une droite numérique, mais ont néanmoins une utilité dans de nombreux processus mathématiques. Les nombres complexes incluent une composante imaginaire, généralement donnée par i, où i2 est égal à -1.
Il existe de nombreux types de nombres différents, et chacun a sa place dans le monde des mathématiques et des nombreuses disciplines dans lesquelles il est utilisé. Un entier peut être mieux décrit à la fois par ce qu’il est et par ce qu’il n’est pas. C’est tout nombre entier, positif, de un à un nombre infiniment grand. Un entier est le nombre zéro. C’est n’importe quel nombre entier, négatif, de moins un à un nombre négatif infiniment grand. Ce n’est pas n’importe quel nombre qui a un reste au-delà de la décimale. Un entier n’est pas un nombre réel spécial, tel que pi ou e. Et ce n’est pas un nombre complexe ou irrationnel.