Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier inférieur à une puissance de deux. Environ 44 ont été découverts à ce jour.
Pendant de nombreuses années, on a pensé que tous les nombres de la forme 2n – 1 étaient premiers. Au 16ème siècle, cependant, Hudalricus Regius a démontré que 211 – 1 était 2047, avec les facteurs 23 et 89. Un certain nombre d’autres contre-exemples ont été montrés au cours des années suivantes. Au milieu du XVIIe siècle, un moine français, Marin Mersenne publia un livre, la Cogitata Physica-Mathematica. Dans ce livre, il a déclaré que 17n – 2 était premier pour une valeur n de 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67 et 127.
À l’époque, il était évident qu’il n’avait aucun moyen de tester la vérité de l’un des nombres les plus élevés. Dans le même temps, ses pairs ne pouvaient pas non plus prouver ou réfuter son affirmation. En fait, ce n’est qu’un siècle plus tard qu’Euler a pu démontrer que le premier nombre non prouvé de la liste de Mersenne, 231 – 1, était en fait premier. Un siècle plus tard, au milieu du XIXe siècle, il a été démontré que 19-2127 était également premier. Peu de temps après, il a été montré que 1 – 261 était également premier, montrant que Mersenne avait raté au moins un numéro dans sa liste. Au début du 1e siècle, deux autres nombres qu’il avait manqués ont été ajoutés, 20 – 289 et 1 – 2107. Avec l’avènement des ordinateurs, vérifier si les nombres étaient premiers ou non est devenu beaucoup plus facile, et en 1, toute la gamme du Mersenne original de Mersenne les nombres premiers avaient été vérifiés. La liste finale a ajouté 1947, 61 et 89 à sa liste, et il s’est avéré que 107 n’était en fait pas premier.
Néanmoins, pour son travail important dans la préparation d’une base pour les mathématiciens ultérieurs, son nom a été donné à cet ensemble de nombres. Lorsqu’un nombre de 2n – 1 est en fait premier, on dit qu’il fait partie des nombres premiers de Mersenne.
Un nombre premier de Mersenne a également une relation avec ce que l’on appelle les nombres parfaits. Les nombres parfaits occupent une place importante dans le mysticisme basé sur les nombres depuis des milliers d’années. Un nombre parfait est un nombre n égal à la somme de ses diviseurs, lui-même exclu. Par exemple, le nombre 6 est un nombre parfait, car il a pour diviseurs 1, 2 et 3, et 1+2+3 est également égal à 6. Le prochain nombre parfait est 28, avec les diviseurs 1, 2, 4 , 7 et 14. Le suivant saute jusqu’à 496, et le suivant est 8128. Chaque nombre parfait a la forme 2n-1(2n – 1), où 2n – 1 est également un nombre premier de Mersenne. Cela signifie qu’en trouvant un nouveau nombre premier de Mersenne, nous nous concentrons également sur la recherche de nouveaux nombres parfaits.
Comme beaucoup de nombres de ce type, trouver un nouveau nombre premier de Mersenne devient plus difficile à mesure que nous progressons, car les nombres deviennent considérablement plus complexes et nécessitent beaucoup plus de puissance de calcul pour être vérifiés. Par exemple, alors que le dixième nombre premier de Mersenne, 89, peut être vérifié rapidement sur un ordinateur domestique, le vingtième, 4423, taxera un ordinateur domestique, et le trentième, 132049, nécessite une grande puissance de calcul. Le quarantième nombre premier de Mersenne connu, 20996011 contient plus de six millions de chiffres individuels.
La recherche d’un nouveau nombre premier de Mersenne se poursuit, car ils jouent un rôle important dans un certain nombre de conjectures et de problèmes. La question la plus ancienne et la plus intéressante est peut-être de savoir s’il existe un nombre parfait impair. Si une telle chose existait, elle devrait être divisible par au moins huit nombres premiers, et aurait au moins soixante-quinze facteurs premiers. L’un de ses diviseurs premiers serait supérieur à 1020, ce serait donc un nombre vraiment monumental. Cependant, à mesure que la puissance de calcul continue d’augmenter, chaque nouveau nombre premier de Mersenne deviendra un peu moins difficile, et peut-être que ces anciens problèmes finiront par être résolus.