I coefficienti binomiali definiscono il numero di combinazioni possibili quando si seleziona un certo numero di risultati da un insieme di una determinata dimensione. Sono usati nel teorema binomiale, che è un metodo per espandere un binomio, una funzione polinomiale contenente due termini. Il triangolo di Pascal, ad esempio, è composto esclusivamente da coefficienti binomiali.
Matematicamente, i coefficienti binomiali sono scritti come due numeri allineati verticalmente all’interno di una serie di parentesi. Il numero più alto, rappresentato da “n”, è il numero totale di possibilità. Solitamente rappresentato da “r” o “k”, il numero inferiore è il numero di risultati non ordinati da selezionare da “n”. Entrambi i numeri sono positivi e “n” è maggiore o uguale a “r”.
Il coefficiente binomiale, o il numero di modi in cui “r” può essere estratto da “n”, viene calcolato utilizzando i fattoriali. Un fattoriale è un numero moltiplicato per il numero più piccolo successivo per il numero più piccolo successivo e così via finché la formula non raggiunge uno. È rappresentato matematicamente come n! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Il fattoriale zero è uguale a uno.
Per un coefficiente binomiale, la formula è n fattoriale (n!) divisa per il prodotto di (n – r)! volte r!, che di solito può essere ridotto. Se n è 5 e r è 2, ad esempio, la formula è 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). In questo caso, 3*2*1 è sia al numeratore che al denominatore, quindi può essere cancellato dalla frazione. Ciò si traduce in (5*4)/(2*1), che è uguale a 10.
Il teorema binomiale è un modo per calcolare l’espansione di una funzione binomiale, rappresentata da (a + b)^n — a più b all’ennesima potenza; aeb possono essere composti da variabili, costanti o entrambi. Per espandere il binomio, il primo termine nell’espansione è il coefficiente binomiale di n e 0 volte a^n. Il secondo termine è il coefficiente binomiale di n e 1 volte a^(n-1)b. Ogni termine successivo dell’espansione viene calcolato aggiungendo 1 al numero inferiore del coefficiente binomiale, elevando a alla potenza di n meno quel numero e elevando b alla potenza di quel numero, continuando fino a quando il numero inferiore del coefficiente è uguale a nf.
Ogni numero nel triangolo di Pascal è un coefficiente binomiale che può essere calcolato utilizzando la formula per i coefficienti binomiali. Il triangolo inizia con un 1 nel punto in alto e ogni numero in una riga inferiore può essere calcolato sommando le due voci in diagonale sopra di esso. Il triangolo di Pascal ha diverse proprietà matematiche uniche: oltre ai coefficienti binomiali, contiene anche i numeri di Fibonacci e i numeri figurati.