Binomialkoeffizienten definieren die Anzahl von Kombinationen, die möglich sind, wenn eine bestimmte Anzahl von Ergebnissen aus einem Satz einer bestimmten Größe ausgewählt wird. Sie werden im Binomialsatz verwendet, bei dem es sich um eine Methode zur Erweiterung eines Binomials handelt – einer Polynomfunktion, die zwei Terme enthält. Das Pascalsche Dreieck zum Beispiel besteht ausschließlich aus Binomialkoeffizienten.
Mathematisch werden Binomialkoeffizienten als zwei Zahlen geschrieben, die vertikal innerhalb eines Satzes von Klammern ausgerichtet sind. Die oberste Zahl, dargestellt durch „n“, ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten. In der Regel durch „r“ oder „k“ dargestellt, ist die untere Zahl die Anzahl der ungeordneten Ergebnisse, die aus „n“ auszuwählen sind. Beide Zahlen sind positiv und „n“ ist größer oder gleich „r“.
Der Binomialkoeffizient oder die Anzahl der Möglichkeiten, wie „r“ aus „n“ ausgewählt werden kann, wird mithilfe von Fakultäten berechnet. Eine Fakultät ist eine Zahl mal die nächstkleinere Zahl mal die nächstkleinere Zahl und so weiter, bis die Formel eins erreicht. Es wird mathematisch als n dargestellt! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Null Fakultät ist gleich Eins.
Für einen Binomialkoeffizienten lautet die Formel n Fakultät (n!) geteilt durch das Produkt von (n – r)! mal r!, die in der Regel reduziert werden können. Wenn n beispielsweise 5 und r 2 ist, lautet die Formel 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). In diesem Fall ist 3*2*1 sowohl im Zähler als auch im Nenner enthalten, kann also aus dem Bruch gestrichen werden. Daraus ergibt sich (5*4)/(2*1), was 10 ergibt.
Der Binomialsatz ist eine Möglichkeit, die Entwicklung einer Binomialfunktion zu berechnen, dargestellt durch (a + b)^n — a plus b hoch n; a und b können aus Variablen, Konstanten oder beidem bestehen. Um das Binomial zu erweitern, ist der erste Term in der Erweiterung der Binomialkoeffizient von n und 0 mal a^n. Der zweite Term ist der Binomialkoeffizient von n und 1 mal a^(n-1)b. Jeder nachfolgende Term der Erweiterung wird berechnet, indem 1 zur unteren Zahl des Binomialkoeffizienten addiert wird, a hoch n minus dieser Zahl und b hoch diese Zahl erhöht wird, bis die niedrigste Zahl des Koeffizienten gleich ist n.
Jede Zahl im Pascalschen Dreieck ist ein Binomialkoeffizient, der mit der Formel für Binomialkoeffizienten berechnet werden kann. Das Dreieck beginnt mit einer 1 am oberen Punkt, und jede Zahl in einer unteren Reihe kann berechnet werden, indem die beiden diagonal darüber liegenden Einträge addiert werden. Das Pascal-Dreieck hat mehrere einzigartige mathematische Eigenschaften – neben Binomialkoeffizienten enthält es auch Fibonacci-Zahlen und figurative Zahlen.