Cualquier espacio que no sea completamente plano se denomina espacio curvo. La superficie de una esfera es un espacio curvo, al igual que la superficie de una silla de montar. Una esfera es un ejemplo de curvatura positiva, lo que significa que si un triángulo se forma con líneas rectas en un espacio curvo, los ángulos sumarán más de los 180 grados normales. Un sillín es un ejemplo de espaciado curvo negativo. La gravedad es causada por la curvatura del espacio: la masa curva el espacio, lo que obliga a los objetos a juntarse.
El Teorema de Pitágoras se usa a menudo para verificar si el espacio es plano o curvo. Esta fórmula matemática usa la longitud de cada lado de un triángulo en lugar de ángulos. Si las longitudes coinciden con lo que establece el teorema, entonces el triángulo está en un espacio plano. Si las longitudes no coinciden exactamente con el teorema, entonces el triángulo está en un espacio curvo. Los ángulos son difíciles de medir en distancias largas, pero medir los lados o el perímetro de un triángulo puede mostrar fácilmente la naturaleza del espacio.
La geometría euclidiana es el estudio de formas en un espacio plano. Se basa en una lista de información básica, llamada axiomas, y prueba muchos conceptos matemáticos como el Teorema de Pitágoras. Los axiomas a menudo se refutan, lo que significa que se demuestra que no siempre son verdaderos, en el espacio curvo o en la geometría no euclidiana. Todos los triángulos tienen 180 grados en geometría euclidiana, lo cual es fácil de refutar en un espacio curvo midiendo cada ángulo con un transportador.
El espacio curvo juega un papel importante en la astronomía moderna. La gravedad se considera el espacio curvo que rodea a un cuerpo grande y que hace que los objetos más pequeños orbitan o colisionen con el cuerpo grande. Esto no se descubrió hasta que Einstein publicó su Teoría de la relatividad general, que describió por primera vez la gravedad como un espacio curvo. Antes de esto, los astrónomos calculaban las órbitas de manera inexacta porque el espacio se trataba como una forma euclidiana tridimensional. Los astrónomos modernos pueden calcular y predecir mucho más con el espacio no euclidiano, como los agujeros negros y cómo se mueven las galaxias.
Incluso el padre de la física, Isaac Newton, utilizó la geometría euclidiana. Fue la única forma de estudiar formas durante más de 2000 años. Luego, a fines del siglo XIX, Janos Bolyai refutó el axioma de que las líneas paralelas nunca se cruzan. Einstein pudo comprender la geometría no euclidiana y cómo podría usarse para predecir correctamente la extraña órbita de Mercurio. La visión moderna es que las verdaderas formas euclidianas solo existen en espacios alejados de cualquier cuerpo gravitacional.