Muchas ecuaciones se pueden simplificar expandiendo logaritmos. El término “logaritmos en expansión” no se refiere a logaritmos que se expanden sino a un proceso por el cual una expresión matemática se sustituye por otra según reglas específicas. Hay tres reglas de este tipo. Cada uno de ellos corresponde a una propiedad particular de los exponentes porque tomar un logaritmo es el inverso funcional de la exponenciación: log3 (9) = 2 porque 32 = 9.
La regla más común para expandir logaritmos se usa para separar productos. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos respectivos: loga (x * y) = loga (x) + loga (y). Esta ecuación se deriva de la fórmula ax * ay = ax + y. Puede extenderse a múltiples factores: loga (x * y * z * w) = loga (x) + loga (y) + loga (z) + loga (w).
Elevar un número a una potencia negativa equivale a elevar su recíproco a una potencia positiva: 5-2 = (1/5) 2 = 1/25. La propiedad equivalente para los logaritmos es que loga (1 / x) = -loga (x). Cuando esta propiedad se combina con la regla del producto, proporciona una ley para tomar el logaritmo de una razón: loga (x / y) = loga (x) – loga (y).
La regla final para expandir logaritmos se relaciona con el logaritmo de un número elevado a una potencia. Usando la regla del producto, se encuentra que loga (x2) = loga (x) + loga (x) = 2 * loga (x). De manera similar, loga (x3) = loga (x) + loga (x) + loga (x) = 3 * loga (x). En general, loga (xn) = n * loga (x), incluso si n no es un número entero.
Estas reglas se pueden combinar para expandir expresiones logarítmicas de carácter más complejo. Por ejemplo, se puede aplicar la segunda regla a loga (x2y / z), obteniendo la expresión loga (x2y) – loga (z). Luego, la primera regla se puede aplicar al primer término, lo que produce loga (x2) + loga (y) – loga (z). Por último, la aplicación de la tercera regla conduce a la expresión 2 * loga (x) + loga (y) – loga (z).
La expansión de logaritmos permite resolver rápidamente muchas ecuaciones. Por ejemplo, alguien podría abrir una cuenta de ahorros con $ 400 dólares estadounidenses. Si la cuenta paga 2 por ciento de interés anual compuesto mensualmente, el número de meses requeridos antes de que la cuenta duplique su valor se puede encontrar con la ecuación 400 * (1 + 0.02 / 12) m = 800. Dividiendo por 400 rendimientos (1 + 0.02 / 12) m = 2. Tomando el logaritmo en base 10 de ambos lados se genera la ecuación log10 (1 + 0.02 / 12) m = log10 (2).
Esta ecuación se puede simplificar usando la regla de la potencia am * log10 (1 + 0.02 / 12) = log10 (2). Usar una calculadora para encontrar los logaritmos da m * (0.00072322) = 0.30102. Al resolver por m, se encuentra que la cuenta tardará 417 meses en duplicar su valor si no se deposita dinero adicional.