La règle du cosinus est une formule couramment utilisée en trigonométrie pour déterminer certains aspects d’un triangle non rectangle lorsque d’autres parties clés de ce triangle sont connues ou peuvent être déterminées autrement. C’est une extension efficace du théorème de Pythagore, qui ne fonctionne généralement qu’avec des triangles rectangles et stipule que le carré de l’hypoténuse du triangle est égal aux carrés des deux autres côtés lorsqu’ils sont additionnés (c2=a2+b2). La règle du cosinus est une extension de ce principe mathématique qui le rend efficace pour les triangles non rectangles et stipule qu’en ce qui concerne un certain angle, le carré du côté du triangle opposé à cet angle est égal aux carrés des deux autres côtés additionnés, moins deux fois ces deux côtés multipliés par le cosinus de cet angle (c2=a2+b2-2ab cosC où C est l’angle opposé au côté c).
Bien que de nombreuses sources mathématiques modernes attribuent à un mathématicien musulman nommé al-Kashi la création de la règle du cosinus, il existe également des preuves indiquant que le mathématicien grec ancien Euclide avait conçu un principe similaire. Une grande partie de l’algèbre et de la trigonométrie modernes proviennent des efforts des musulmans pendant l’âge des ténèbres européen, et c’est vers le XVe siècle qu’al-Kashi a codifié la formule d’une manière encore comprise aujourd’hui. En France, la règle est même appelée Le théorème d’Al-Kashi ou « le théorème d’al-Kashi ».
En général, la règle du cosinus est utilisée dans la triangulation et un certain nombre d’autres applications pratiques de la trigonométrie. Il est particulièrement utile dans les systèmes où les longueurs des trois côtés sont connues ou peuvent être établies et la mesure des angles dans le triangle doit être déterminée. La règle du cosinus peut également être utilisée pour établir la longueur d’un côté d’un triangle si les longueurs des deux autres côtés sont connues ainsi que l’angle opposé à ce côté.
Étant donné que la règle du cosinus traite des triangles constitués de trois côtés droits et de leurs angles, elle ne fonctionne généralement que dans le domaine de la géométrie euclidienne. Différentes versions de la règle du cosinus peuvent être utilisées pour la géométrie non euclidienne telle que la géométrie sphérique et la géométrie hyperbolique. Dans ces systèmes, un triangle est établi par trois points dans l’espace courbe et les lignes, généralement des lignes courbes, qui les relient. La loi hyperbolique des cosinus et la loi sphérique des cosinus fonctionnent un peu comme la règle euclidienne des cosinus, en ce sens qu’elles peuvent permettre à quelqu’un d’établir les trois angles d’un triangle tant qu’il connaît les trois côtés. Contrairement aux règles de cosinus euclidiennes, cependant, ces lois non euclidiennes peuvent également permettre à quelqu’un de déterminer la taille des trois côtés d’un triangle s’il connaît les trois angles.