Le point d’inflexion est un concept important en calcul différentiel. Au point d’inflexion, la courbe d’une fonction change de concavité – en d’autres termes, elle passe d’une courbure négative à une courbure positive, ou vice versa. Ce point peut être défini ou visualisé de différentes manières. Dans les applications du monde réel où un système est modélisé à l’aide d’une courbe, trouver le point d’inflexion est souvent essentiel pour anticiper le comportement du système.
Les fonctions en calcul peuvent être représentées graphiquement sur un plan composé d’un axe x et y, appelé plan cartésien. Dans une fonction donnée, la valeur x, ou la valeur qui est l’entrée dans l’équation, produit une sortie, représentée par la valeur y. Lorsqu’elles sont représentées graphiquement, ces valeurs forment une courbe.
Une courbe peut être soit concave vers le haut, soit concave vers le bas, selon le comportement de la fonction sur certaines valeurs. Une région concave vers le haut apparaît sur un graphique sous la forme d’une courbe en forme de bol s’ouvrant vers le haut, tandis qu’une région concave vers le bas s’ouvre vers le bas. Le point auquel cette concavité change est le point d’inflexion.
Il existe différentes méthodes qui peuvent être utiles pour visualiser l’emplacement du point d’inflexion sur une courbe. Si l’on devait placer un point sur la courbe avec une ligne droite tracée à travers elle qui touche juste la courbe – une ligne tangente – et courir ce point le long de la courbe, le point d’inflexion se produirait au point exact où la tangente la ligne traverse la courbe.
Mathématiquement, le point d’inflexion est le point où la dérivée seconde change de signe. La dérivée première d’une fonction mesure le taux de changement d’une fonction à mesure que son entrée change, et la dérivée seconde mesure comment ce taux de changement lui-même peut changer. Par exemple, la vitesse d’une voiture à un moment donné est représentée par la dérivée première, mais son accélération – vitesse croissante ou décroissante – est représentée par la dérivée seconde. Si la voiture accélère, sa dérivée seconde est positive, mais au point où elle arrête d’accélérer et commence à ralentir, son accélération et sa dérivée seconde deviennent négatives. C’est le point d’inflexion.
Pour visualiser cela graphiquement, il est important de se rappeler que la concavité de la courbe d’une fonction est exprimée par sa dérivée seconde. Une dérivée seconde positive indique une courbe ascendante concave et une dérivée seconde négative indique une courbe concave descendante. Il est difficile de localiser le point d’inflexion exact sur un graphique, donc pour les applications où il est nécessaire de connaître sa valeur exacte, le point d’inflexion peut être résolu mathématiquement.
Une méthode pour trouver le point d’inflexion d’une fonction consiste à prendre sa dérivée seconde, à la définir égale à zéro et à résoudre x. Chaque valeur zéro dans cette méthode ne sera pas un point d’inflexion, il est donc nécessaire de tester les valeurs de chaque côté de x = 0 pour s’assurer que le signe de la dérivée seconde change réellement. Si c’est le cas, la valeur en x est un point d’inflexion.