A teoria transformacional da m?sica ? uma tentativa matem?tica de explicar sua natureza, estrutura e efeito na experi?ncia humana. Os estudantes de teoria musical, mesmo os gregos antigos, sabiam que a m?sica pode ser explicada pela ci?ncia e pela matem?tica, bem como pelo prazer est?tico. O advento de eletr?nicos sofisticados e computadores poderosos do final do s?culo 20 finalmente permitiu tentativas de modelar m?sicas numericamente. A teoria da transforma??o foi proposta pela primeira vez por um matem?tico e m?sico da Universidade de Harvard, nos EUA. O livro do professor David Lewin, em 1987, foi intitulado “Intervalos e transforma??es musicais generalizadas”.
A escala diat?nica usada na m?sica tonal – apenas as teclas brancas de um piano, por exemplo – ? um conjunto muito pequeno de sete elementos com um ponto de partida {C, D, E, F, G, A e B}. Esta ? a sua designa??o convencional. N?o h? raz?o para n?o design?-los numericamente {1,2,3,4,5,6,7}. A escala crom?tica completa da m?sica atonal sem ponto de partida – a inclus?o das teclas pretas de um piano – ainda ? um pequeno conjunto de apenas doze elementos. Quase toda a m?sica do mundo est? contida neste pequeno conjunto.
A teoria dos conjuntos musicais empresta da matem?tica dos conjuntos e sequ?ncias a essa limita??o de doze elementos. Suas seq??ncias infinitamente vari?veis ??explicam o cat?logo quase infinito de m?sicas do mundo. Um pianista instru?do a tocar tr?s notas ascendentes em sucess?o – do-re-mi, por exemplo, usando a conven??o latina – seria representado pela sequ?ncia {C, D, E}. A teoria transformacional dispensa completamente o conjunto, argumentando que elementos musicais individuais n?o precisam ser especificados se as regras e os relacionamentos de sons em mudan?a puderem ser definidos.
No exemplo de tr?s notas do par?grafo acima, a sequ?ncia pode ser representada {n, n + 1, n + 2}. Os n?meros representam o intervalo musical, ou espa?o de afina??o, j? bem definido, n?o apenas pelo espa?amento das teclas do piano, mas tamb?m pela ci?ncia das ondas sonoras. Um vocalista que solicita a m?sica de acompanhamento em uma ?tecla diferente? para melhor se adequar ao seu alcance est? representando a vari?vel ?n? na sequ?ncia. A teoria transformacional descreveria que o elemento “n” passa por uma transforma??o seq?encial equivalente ?s tr?s notas ascendentes.
Al?m disso, a teoria da transforma??o define uma composi??o musical como um “espa?o s?nico”, designado “S”, que cont?m apenas um ?nico elemento “n”. Todas as muitas notas musicais na composi??o podem ser mapeadas neste espa?o de acordo com a opera??o transformacional “T”, em rela??o ao “n”. Por exemplo, a t?cnica dram?tica do piano de tocar todas as teclas brancas da esquerda para a direita em uma varredura r?pida pode ser representada espacialmente como uma h?lice em espiral na forma de uma mola de metal. A m?sica ? expressa como uma rede, e n?o como uma cole??o de s?mbolos.
David Lewin faleceu em 2003 sem publicar muitos de seus trabalhos te?ricos. Matem?ticos avan?ados, programadores de computador e te?ricos da m?sica avan?aram e refinaram sua estrutura original. Um grupo de pesquisadores alimentou a totalidade de v?rias sinfonias orquestrais do s?culo 18, incluindo uma do compositor Ludwig Beethoven, a um computador programado com a matem?tica da teoria transformacional. Cada pe?a de m?sica resultou em um gr?fico da forma geom?trica chamada toro, mais conhecido como rosquinha com um buraco.