In der Mathematik ist eine komplex konjugierte Zahl ein Paar zweikomponentiger Zahlen, die als komplexe Zahlen bezeichnet werden. Jede dieser komplexen Zahlen besitzt eine reelle Zahlkomponente, die zu einer imaginären Komponente hinzugefügt wird. Obwohl ihr Wert gleich ist, ist das Vorzeichen einer der imaginären Komponenten in dem Paar komplex konjugierter Zahlen entgegengesetzt zum Vorzeichen der anderen. Trotz imaginärer Komponenten werden komplexe Konjugierte verwendet, um physikalische Realitäten zu beschreiben. Die Verwendung von komplexen Konjugierten funktioniert trotz der Anwesenheit von imaginären Komponenten, denn wenn die beiden Komponenten miteinander multipliziert werden, ist das Ergebnis eine reelle Zahl.
Imaginäre Zahlen sind alle Zahlen, die bei der Quadratur eine reelle negative Zahl ergeben. Dies kann zur Vereinfachung anders formuliert werden. Eine imaginäre Zahl ist jede reelle Zahl multipliziert mit der Quadratwurzel von minus eins (-1) – für sich genommen unverständlich. In dieser Form ist eine komplex konjugierte Zahl ein Zahlenpaar, das geschrieben werden kann, y=a+bi und y=a–bi, wobei „i“ die Quadratwurzel von -1 ist. Formalistisch wird man zur Unterscheidung der beiden y-Werte im Allgemeinen mit einem Strich über dem Buchstaben geschrieben, obwohl gelegentlich ein Sternchen verwendet wird.
Um zu zeigen, dass die Multiplikation zweier komplex konjugierter Zahlen ein reelles Ergebnis liefert, betrachten wir ein Beispiel, y=7+2i und ӯ=7–2i. Die Multiplikation dieser beiden ergibt yӯ=49+14i–14i–4i2=49+4=53. Ein solches reelles Ergebnis der komplex konjugierten Multiplikation ist wichtig, insbesondere bei der Betrachtung von Systemen auf atomarer und subatomarer Ebene. Häufig enthalten mathematische Ausdrücke für winzige physikalische Systeme eine imaginäre Komponente. Die Disziplin, in der dies besonders wichtig ist, ist die Quantenmechanik, die nichtklassische Physik des ganz Kleinen.
In der Quantenmechanik werden die Eigenschaften eines physikalischen Systems bestehend aus einem Teilchen durch eine Wellengleichung beschrieben. Alles, was über das Teilchen in seinem System zu erfahren ist, kann durch diese Gleichungen aufgedeckt werden. Wellengleichungen weisen häufig eine imaginäre Komponente auf. Die Multiplikation der Gleichung mit ihrer komplexen Konjugierten ergibt eine physikalisch interpretierbare „Wahrscheinlichkeitsdichte“. Die Eigenschaften des Partikels können durch mathematische Manipulation dieser Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt werden.
Beispielsweise ist die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsdichte bei der diskreten spektralen Emission von Strahlung von Atomen wichtig. Eine solche Anwendung der Wahrscheinlichkeitsdichte wird nach dem deutschen Physiker Max Born „Born-Wahrscheinlichkeit“ genannt. Die wichtige eng verwandte statistische Interpretation, dass die Messung eines Quantensystems bestimmte spezifische Ergebnisse liefert, wird als Bornsche Regel bezeichnet. Für seine Arbeiten auf diesem Gebiet erhielt Max Born 1954 den Nobelpreis für Physik. Leider haben Versuche, die Born-Regel aus anderen mathematischen Ableitungen abzuleiten, zu gemischten Ergebnissen geführt.