Las coordenadas polares son una forma de expresar la posición en un plano bidimensional. Las coordenadas cartesianas, también llamadas coordenadas rectangulares, utilizan una distancia en cada una de las dos dimensiones para localizar un punto, pero las coordenadas polares utilizan un ángulo y una distancia. A veces, la distancia se denomina radio.
Las coordenadas rectangulares generalmente se indican (x, y), donde xey son distancias a lo largo de esos ejes respectivos. De manera similar, las coordenadas polares se expresan como (r, θ). La letra r es la distancia desde el origen en el ángulo representado por la letra griega theta, θ, donde r puede ser un número positivo o negativo. Si se usa una distancia negativa, la magnitud de la distancia no cambia, pero la dirección se toma opuesta al ángulo θ en el otro lado del origen. Se puede hacer referencia a un punto en un sistema de coordenadas polares como representante de un vector, con una magnitud de r, una dirección de θ y un sentido de dirección, que es el signo de r.
La traducción entre coordenadas rectangulares y polares se puede lograr mediante el uso de fórmulas trigonométricas. Para la conversión de rectangular a polar, se pueden aplicar las siguientes fórmulas: θ = tan-1 (y / x) y r = √ (x2 + y2). Para cambios de polar a rectangular, se pueden emplear estas ecuaciones: x = rcosθ e y = rsinθ.
Las coordenadas polares tienden a usarse para cualquier situación en la que las coordenadas rectangulares resulten difíciles o incómodas de utilizar, y viceversa. Cualquier aplicación que involucre geometría circular o movimiento radial es ideal para coordenadas polares, porque estas geometrías pueden describirse con ecuaciones relativamente simples en un sistema de coordenadas polares; sus gráficos son de apariencia más curvilínea o circular en comparación con los de los sistemas de coordenadas rectangulares. Como resultado, las coordenadas polares se utilizan para representar modelos de fenómenos del mundo real que tienen formas redondeadas similares.
Las aplicaciones de las coordenadas polares son bastante variadas. Se han utilizado gráficos de coordenadas polares para modelar los campos de sonido producidos por las diferentes ubicaciones de los altavoces o las áreas donde los diferentes tipos de micrófonos pueden captar mejor el sonido. Las coordenadas polares son de gran importancia para modelar movimientos orbitales en astronomía y viajes espaciales. También son la base gráfica de la famosa fórmula de Euler, que se aplica regularmente en matemáticas para la representación y manipulación de números complejos.
Al igual que sus contrapartes rectangulares, las coordenadas polares no necesitan limitarse a solo dos dimensiones. Para expresar valores en tres dimensiones, se puede agregar al sistema de coordenadas un segundo ángulo representado por la letra griega phi, φ. Por tanto, cualquier punto puede ubicarse desde el origen por una distancia fija y dos ángulos, y se le pueden asignar las coordenadas (r, θ, φ). Cuando se usa este tipo de nomenclatura para rastrear y ubicar puntos en un espacio tridimensional, el sistema de coordenadas se designa como un sistema de coordenadas esféricas. Este tipo de geometría a veces se denomina uso de coordenadas esféricas polares.
Las coordenadas esféricas en realidad tienen una aplicación bien conocida: se utilizan para cartografiar la Tierra. El ángulo θ es típicamente la latitud y está limitado entre menos-90 grados y 90 grados, mientras que el ángulo φ es la longitud y se mantiene entre menos-180 y 180 grados. En esta aplicación, a veces se puede ignorar r, pero se emplea más a menudo para la expresión de la elevación sobre el nivel medio del mar.