En calcul, une dérivée est une mesure du taux de variation d’une fonction mathématique. Le terme dérivée commune fait simplement référence à un type de dérivée fréquemment observé, ou qui peut être évalué avec une relative facilité. En revanche, les dérivés complexes sont relativement rares et peuvent être difficiles à calculer.
La majorité des dérivés trouvés dans la plupart des applications mathématiques sont des dérivés communs. Par exemple, les polynômes sont des fonctions composées d’opérateurs mathématiques courants sur une variable ; quelques exemples sont 3x, x4 et 2×2 + 5x + 12. Ce sont tous des polynômes car ce sont toutes des fonctions qui utilisent les opérateurs mathématiques les plus fréquemment utilisés sur x. En conséquence, les dérivés de ces fonctions et d’autres fonctions similaires sont considérés comme des dérivés communs. Non seulement les règles de dérivation les plus élémentaires sont utilisées dans leur calcul, mais plus important encore, ces fonctions sont des types plus susceptibles d’être rencontrés.
Lorsqu’elles sont dérivées, les fonctions mathématiques les plus largement utilisées donnent des dérivées communes. Les dérivées des fonctions trigonométriques sont fréquemment observées et calculées relativement rapidement. D’autres fonctions ayant des dérivées qui peuvent être décrites comme communes sont les logarithmes et les fonctions qui élèvent un nombre à un exposant positif.
Il existe une relation étroite entre les dérivées communes et les intégrales communes. De la même manière qu’une intégrale n’est qu’une primitive, les intégrales communes ne sont que des primitives communes. Les graphiques des dérivées et intégrales courantes sont généralement présents dans la plupart des manuels de calcul et sont disponibles en ligne.
Les dérivés courants trouvent une application comme fondement de la plupart des calculs mathématiques impliquant le taux de changement. La vitesse est probablement le type de calcul le plus connu pour un taux de changement. C’est simplement une dérivée de la position par rapport au temps ; lorsqu’un objet est en mouvement, le taux de changement de distance par rapport à un autre objet fixe ou mobile peut être calculé en utilisant une dérivée commune. Une dérivée commune peut également être utile pour déterminer les maximums ou minimums relatifs d’une fonction, ce qui peut aider à prédire les comportements de tout objet lié à cette fonction.
Bien que de nombreuses personnes qui étudient les mathématiques deviennent aptes à calculer des dérivés communs, l’application dans le monde réel a tendance à être plus difficile. Dans de telles circonstances, il est parfois utile de déterminer quelle fonction pourrait entraîner le comportement décrit. Un autre moyen potentiellement utile d’attaquer le problème consiste à dessiner un schéma simple de la situation décrite. L’une ou l’autre de ces méthodes peut trahir les informations nécessaires pour parvenir à une solution.
Les dérivés sont généralement le premier nouveau concept majeur présenté à un étudiant en calcul. Les dérivés communs sont suffisamment simples dans leur concept pour qu’il existe de nombreuses formules pour leurs solutions. Malgré cela, ils restent l’un des concepts les plus obscurs mais utiles en mathématiques.