Le coordinate polari sono una forma per esprimere la posizione su un piano bidimensionale. Le coordinate cartesiane, dette anche coordinate rettangolari, utilizzano una distanza in ciascuna delle due dimensioni per individuare un punto, ma le coordinate polari utilizzano un angolo e una distanza. La distanza è talvolta indicata come raggio.
Le coordinate rettangolari sono tipicamente indicate (x,y), dove xey sono distanze lungo i rispettivi assi. In modo simile, le coordinate polari sono espresse come (r,θ). La lettera r è la distanza dall’origine all’angolo rappresentato dalla lettera greca theta, θ, dove r può essere un numero positivo o negativo. Se viene utilizzata una distanza negativa, l’ampiezza della distanza non cambia, ma la direzione viene presa in direzione opposta all’angolo sull’altro lato dell’origine. Un punto in un sistema di coordinate polari può essere indicato come rappresentante un vettore, con una grandezza di r, una direzione di e un senso di direzione, che è il segno di r.
La traduzione tra coordinate rettangolari e polari può essere ottenuta mediante l’uso di formule trigonometriche. Per la conversione da rettangolare a polare si possono applicare le seguenti formule: θ = tan-1(y/x) e r = √(x2 + y2). Per i cambiamenti da polare a rettangolare, si possono utilizzare queste equazioni: x = rcosθ ey = rsinθ.
Le coordinate polari tendono ad essere utilizzate per qualsiasi situazione in cui le coordinate rettangolari si dimostrerebbero difficili o scomode da utilizzare, e viceversa. Qualsiasi applicazione che coinvolga la geometria circolare o il movimento radiale è ideale per le coordinate polari, perché queste geometrie possono essere descritte con equazioni relativamente semplici in un sistema di coordinate polari; i loro grafici hanno un aspetto più curvilineo o circolare rispetto a quelli su sistemi di coordinate rettangolari. Di conseguenza, le coordinate polari hanno l’uso di rappresentare modelli di fenomeni del mondo reale che hanno forme arrotondate in modo simile.
Le applicazioni delle coordinate polari sono piuttosto varie. I grafici delle coordinate polari sono stati utilizzati per modellare i campi sonori prodotti dalle diverse posizioni degli altoparlanti o dalle aree in cui diversi tipi di microfoni possono captare meglio il suono. Le coordinate polari sono di grande importanza per modellare i moti orbitali in astronomia e viaggi nello spazio. Sono anche la base grafica per la famosa Formula di Eulero, che viene regolarmente applicata in matematica per la rappresentazione e la manipolazione di numeri complessi.
Come le loro controparti rettangolari, le coordinate polari non devono essere limitate solo a due dimensioni. Per esprimere valori in tre dimensioni, è possibile aggiungere al sistema di coordinate un secondo angolo rappresentato dalla lettera greca phi, φ. Qualsiasi punto può essere così localizzato dall’origine di una distanza fissa e due angoli, e ad esso possono essere assegnate le coordinate (r,θ,φ). Quando questo tipo di nomenclatura viene utilizzato per tracciare e localizzare punti nello spazio tridimensionale, il sistema di coordinate viene designato come sistema di coordinate sferico. Questo tipo di geometria è talvolta indicato come l’utilizzo di coordinate sferiche polari.
Le coordinate sferiche hanno in realtà un’applicazione ben nota: vengono utilizzate nella mappatura della Terra. L’angolo è tipicamente la latitudine ed è limitato tra meno-90 gradi e 90 gradi, mentre l’angolo φ è la longitudine ed è mantenuto tra meno-180 e 180 gradi. In questa applicazione, a volte r può essere ignorato, ma è più spesso impiegato per l’espressione dell’elevazione sopra il livello medio del mare.