Una distribuzione binomiale con parametri (n,p) fornisce la probabilità discreta di avere x successi su n prove, con la probabilità di successo p, assumendo che ogni prova sia indipendente e che l’esito di una prova sia un successo o un fallimento. Il numero medio di successi su n prove è la media np e la varianza è np(1-p). Il binomio appartiene a una famiglia di distribuzioni correlate agli eventi che include il binomio negativo e la distribuzione di Bernoulli. Poiché la probabilità della distribuzione binomiale viene calcolata utilizzando la funzione fattoriale, che diventa molto grande all’aumentare del numero di prove, viene tipicamente utilizzata l’approssimazione della distribuzione binomiale di una distribuzione normale o di Poisson.
Ad esempio, una moneta equilibrata viene lanciata due volte e un successo è definito come ottenere testa. Il numero di prove è n = 2 e la probabilità di lanciare testa è p = ½. I risultati possono essere riassunti in una tabella di distribuzione binomiale: la probabilità di non ottenere testa, P(x = 0) è 25%, la probabilità di una testa, P(x = 1) è 50% e la probabilità di due teste P(x = 2) è 25%. Il numero atteso di teste lanciate è np = 2*1/2 = 1. La varianza è np(1-p) = ½.
Altre distribuzioni descrivono la probabilità degli eventi e appartengono alla stessa famiglia del binomio. Una distribuzione di Bernoulli dà la probabilità di successo di un singolo evento ed è equivalente a un binomio con n = 1. La distribuzione binomiale negativa dà la probabilità di avere x fallimenti, dove come il binomio regolare dà la probabilità di x successi.
Spesso viene utilizzata la funzione di densità cumulativa della distribuzione binomiale, che fornisce la probabilità di avere x o meno successi in n prove. Calcolare questa probabilità è semplice per un piccolo n, ma diventa noioso quando n diventa grande, a causa del coefficiente binomiale. Il coefficiente binomiale si legge “n scegli x” e si riferisce al numero di combinazioni che x risultati possono essere scelti da n possibilità. Viene calcolato utilizzando la funzione fattoriale. Poiché il numero di prove (n) diventa maggiore di 70, n fattoriale diventa enorme e non può più essere calcolato su una calcolatrice standard.
L’approssimazione della distribuzione binomiale quando n diventa grande può essere discreta o continua. Se n è molto grande e p è molto piccolo, allora la distribuzione binomiale diventa una distribuzione di Poisson discreta. Se n è sufficientemente grande senza alcun vincolo su p, allora può essere usata l’approssimazione della distribuzione normale binomiale. La media binomiale e la deviazione standard diventano i parametri della distribuzione normale e viene applicata una correzione per la continuità quando si calcola la funzione di densità cumulativa.