La desviación estándar es un número estadístico calculado para proporcionar los límites específicos de agrupaciones de datos por debajo y por encima de la media de una población ideal dentro de una curva normal. En otras palabras, una desviación estándar calculada proporciona los límites de datos indicados por tres líneas equidistantes a cada lado de la línea media de una curva de campana. La mayoría de los procedimientos para calcular la desviación estándar sin programas estadísticos o calculadoras estadísticas se denominan procedimientos de «un paso» o «dos pasos», en referencia al número de veces que se debe anotar y manipular cada número como parte de la solución general. A pesar de tener que lidiar con cada número por segunda vez, los métodos de “dos pasadas” para calcular la desviación estándar son más fáciles de explicar sin hacer referencia a la fórmula estadística que se está calculando o sin comprenderla. Los mejores consejos para calcular la desviación estándar incluyen trabajar con cantidades más pequeñas de datos al aprender el proceso por primera vez, usar un problema de ejemplo que un estudiante podría encontrar en la vida real, escribir toda su aritmética y cálculos para verificar si hay errores y comprender cómo su los cálculos individuales dan como resultado su respuesta final.
Para establecer un problema de ejemplo razonable, considere calcular la desviación estándar en una lista de 10 calificaciones de examen: 99, 78, 89, 71, 92, 88, 59, 68, 83 y 81.
El cálculo se realiza mediante una fórmula conocida como método de Welford:
s = √ (1 / n-1) (∑ (x – µ) 2
Las variables de esta ecuación son las siguientes:
s = desviación estándar
√ = raíz cuadrada de todo el cálculo
n = el número de piezas de datos, por ejemplo, 10 calificaciones de prueba
∑ = símbolo de suma que indica que todos los resultados calculados a continuación deben sumarse mediante aritmética simple
x = cada una de las diferentes piezas de datos, para el ejemplo de calificaciones de prueba: 99, 78, 89, etc.
µ = la media, o promedio, de todos sus datos; por ejemplo, las 10 calificaciones de las pruebas se suman y se dividen entre 10
(x – µ) 2 = elevar al cuadrado el resultado de la ecuación o multiplicar el resultado por sí mismo
Ahora, mientras resuelves ciertas variables, introdúcelas en la ecuación.
El primer paso es el más fácil. El denominador, n-1, de la fracción 1 / n-1 se puede resolver fácilmente. Con n igual a 10 calificaciones de la prueba, el denominador será claramente 10 – 1 o 9.
El siguiente paso es obtener la media, o el promedio, de todas las calificaciones de la prueba sumándolas y dividiéndolas por el número de calificaciones. El resultado debería ser µ = 80.8. Esta será la línea media, o media, que divide el gráfico de curva estándar en dos mitades bilaterales.
A continuación, reste la media – µ = 80.8 – de cada una de las 10 calificaciones de la prueba y eleve al cuadrado cada una de estas desviaciones en una segunda pasada a través de los datos. Por lo tanto,
99 – 80.8 = 18.2331.2478 – 80.8 = -2.87.8489 – 80.8 = 8.267.2471 – 80.8 = -9.896.0492 – 80.8 = 11.2125.4488 – 80.8 = 7.251.8459 – 80.8 = -21.8475.2468 – 80.8 = – 12.8163.8483 – 80.8 = 2.24.8481 – 80.8 = 0.20.04
Sume todos estos cálculos para llegar a la suma de los datos representados por ∑. La aritmética básica ahora indica que ∑ = 1,323.6
∑ ahora debe multiplicarse por 1/9 ya que el denominador de esta fracción se estableció en el primer paso del cálculo de la desviación estándar. Esto da como resultado un producto de 147.07.
Por último, calcular la desviación estándar requiere que la raíz cuadrada de este producto se calcule en 12.13.
Por lo tanto, para nuestro problema de ejemplo con respecto al examen con 10 calificaciones de prueba que van de 59 a 99, el puntaje promedio de la prueba fue 80.8. El cálculo de la desviación estándar para nuestro problema de ejemplo dio como resultado un valor de 12.13. De acuerdo con la distribución esperada de una curva normal, podríamos estimar que el 68 por ciento de las calificaciones estaría dentro de una desviación estándar de la media (68.67 a 92.93), el 95 por ciento de las calificaciones estaría dentro de dos desviaciones estándar de la media (56.54 a 105.06) y el 99.5 por ciento de las calificaciones estaría dentro de tres desviaciones estándar de la media.