La funzione delta di Kronecker, indicata con δi,j, è una funzione binaria che è uguale a 1 se i e j sono uguali, altrimenti è uguale a 0. Sebbene tecnicamente sia una funzione di due variabili, in pratica viene utilizzata come abbreviazione di notazione, consentendo di scrivere in modo compatto enunciati matematici complicati. Matematici, fisici e ingegneri che lavorano nell’algebra lineare, nell’analisi tensoriale e nell’elaborazione del segnale digitale utilizzano la funzione delta di Kronecker come espediente per trasmettere in un’unica equazione ciò che altrimenti richiederebbe più righe di testo.
Questa funzione è più frequentemente utilizzata per semplificare la scrittura di equazioni che coinvolgono la notazione sigma, che è di per sé un metodo conciso per fare riferimento a somme complicate. Ad esempio, se un’azienda ha 30 dipendenti {e1, e2 … e30} e ogni dipendente lavora un numero diverso di ore {h1, h2 … h30} a una tariffa oraria diversa {r1, r2 … r30}, il denaro totale pagato a questi dipendenti per il loro lavoro è uguale a e1*h1*r1 + e2*h2*r2 + e3*h3*r3 + … e30*h30*r30. I matematici possono scrivere questo concisamente come ∑i ei*hi*ri.
Quando si descrivono sistemi fisici che coinvolgono più dimensioni, i fisici spesso devono usare doppie somme. Le applicazioni scientifiche pratiche sono molto complesse, ma un esempio concreto mostra come la funzione delta di Kronecker possa semplificare le espressioni in questi casi.
Ci sono tre negozi di abbigliamento in un centro commerciale, ognuno dei quali vende un marchio diverso. Sono disponibili un totale di 20 stili di camicie: otto offerti dal negozio 1, sette offerti dal negozio 2 e cinque offerti dal negozio 3. Sono disponibili dodici stili di pantaloni: cinque dal negozio 1, tre dal negozio 2 e quattro dal negozio 3. Si possono acquistare 240 possibili outfit, perché ci sono 20 opzioni per la maglia e 12 opzioni per i pantaloni. Ogni combinazione produce un vestito diverso.
Non è così semplice calcolare il numero di modi per selezionare un abito in cui la camicia e i pantaloni provengono da negozi diversi. Si può selezionare una maglietta dal negozio 1 e pantaloni dal negozio 2 in 8*3 modi. Ci sono 8*4 modi per selezionare una camicia dal negozio 1 e un pantalone dal negozio 3. Proseguendo in questo modo, si trova che il numero totale di capi che utilizzano articoli di diversi negozi è 8*3 + 8*4 + 7*5 + 7 *4 + 5*5 + 5*3 = 199.
Si potrebbe considerare la disponibilità di camicie e pantaloni come due sequenze, {s1, s2, s3} = {8, 7, 5} e {p1, p2, p3} = {5, 3, 4}. Allora la funzione delta di Kronecker permette di scrivere questa somma semplicemente come ∑i ∑jsi * pj * (1- δi,j). Il termine (1- δi,j) elimina quegli outfit composti da camicia e pantaloni acquistati nello stesso negozio perché in quel caso i = j, quindi δi,j = 1 e (1- δi,j) = 0. Moltiplicando il termine per 0 lo rimuove dalla somma.
La funzione delta di Kronecker viene utilizzata più frequentemente quando si analizzano spazi multidimensionali, ma può essere utilizzata anche quando si studiano spazi unidimensionali, come la linea dei numeri reali. In tal caso viene spesso utilizzata una variante a ingresso singolo: δ(n) = 1 se n = 0; δ(n) = 0 altrimenti. Per vedere come la funzione delta di Kronecker può essere utilizzata per semplificare complesse affermazioni matematiche sui numeri reali, si potrebbero considerare le seguenti due funzioni i cui input sono frazioni semplificate:
f(a/b) = a se a =b+1, f(a/b) = -b se b=a+1 e f(a/b) = 0 altrimenti.g(a/b) = a *δ(ab-1) –b*δ(a-b+1)
Le funzioni f e g sono identiche, ma la definizione di g è più compatta e non richiede l’inglese, quindi può essere compresa da qualsiasi matematico del mondo.
Come illustrato da questi esempi, gli input della funzione delta di Kronecker sono in genere numeri interi collegati a una sequenza di valori. La distribuzione delta di Dirac è un analogo continuo della funzione delta di Kronecker utilizzata quando si integrano le funzioni piuttosto che le sequenze di somma.