El logaritmo natural es el logaritmo con base e. El matemático escocés John Napier (1550-1617) inventó el logaritmo. Aunque él mismo no introdujo el concepto de logaritmo natural, la función a veces se denomina logaritmo napieriano. El logaritmo natural se utiliza en numerosas aplicaciones científicas y de ingeniería.
John Napier desarrolló el nombre «logaritmo» como una combinación de las palabras griegas logos y aritmos. Las traducciones al inglés son «ratio» y «números», respectivamente. Napier pasó 20 años trabajando en su teoría de los logaritmos y publicó su trabajo en el libro Mirifici Logarithmorum canonis descriptio en 1614. La traducción al inglés del título es Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos.
El logaritmo natural se caracteriza por ser el logaritmo de base e, que a veces se denomina constante de Napier. Este número también se conoce como número de Euler. La letra «e» se utiliza para honrar a Leonhard Euler (1707-1783) y fue utilizada por primera vez por el propio Euler en una carta a Christian Goldbach en 1731.
La inversa de la función exponencial natural, definida como f (x) = ex, es la función logarítmica natural. Esta función se escribe como f (x) = ln (x). Esta misma función se puede escribir como f (x) = loge (x), pero la notación estándar es f (x) = ln (x).
El dominio del logaritmo natural es (0, infinito) y el rango es (-infinito, infinito). La gráfica de esta función es cóncava, mirando hacia abajo. La función en sí es creciente, continua y uno a uno.
El logaritmo natural de 1 es igual a 0. Suponiendo que ayb son números positivos, entonces ln (a * b) es igual a ln (a) + ln (b) y ln (a / b) = ln (a) – en (b). Si ayb son números positivos yn es un número racional, entonces ln (an) = n * ln (a). Estas propiedades de los logaritmos naturales son características de todas las funciones logarítmicas.
La definición real de la función logarítmica natural se puede encontrar en la integral de 1 / t dt. La integral es de 1 ax con x> 0. El número de Euler, e, denota el número real positivo tal que la integral de 1 / t dt de 1 a e es igual a 1. El número de Euler es un número irracional y es aproximadamente igual hasta 2.7182818285.
La derivada de la función logarítmica natural con respecto ax es 1 / x. La derivada con respecto ax de la inversa de la función logarítmica, la función exponencial natural, es sorprendentemente la función exponencial natural de nuevo. En otras palabras, la función exponencial natural es su propia derivada.