La topologie est une branche des mathématiques qui traite de l’étude des surfaces ou des espaces abstraits, où les quantités mesurables ne sont pas importantes. En raison de cette approche unique des mathématiques, la topologie est parfois appelée géométrie de la feuille de caoutchouc, car les formes considérées sont supposées exister sur des feuilles de caoutchouc étirables à l’infini. En géométrie typique, les formes fondamentales telles que le cercle, le carré et le rectangle sont la base de tous les calculs, mais, en topologie, la base est celle de la continuité et de la position des points les uns par rapport aux autres.
Une carte topologique peut avoir des points qui, ensemble, constitueraient une forme géométrique telle qu’un triangle. Cette collection de points est regardée comme un espace qui reste inchangé ; cependant, peu importe comment il est tordu ou étiré, comme les points sur une feuille de caoutchouc, il resterait inchangé quelle que soit sa forme. Ce type de cadre conceptuel pour les mathématiques est souvent utilisé dans des domaines où se produisent souvent des déformations à grande ou à petite échelle, tels que les puits de gravité dans l’espace, l’analyse de la physique des particules à un niveau subatomique et dans l’étude des structures biologiques telles que le changement de forme des protéines.
La géométrie de la topologie ne traite pas de la taille des espaces, donc la surface d’un cube a la même topologie que celle d’une sphère, car une personne peut imaginer qu’elles soient tordues pour passer d’une forme à l’autre. De telles formes qui partagent des caractéristiques identiques sont appelées homéomorphes. Un exemple de deux formes topologiques qui ne sont pas homéomorphes, ou ne peuvent pas être modifiées pour se ressembler, sont une sphère et un tore, ou une forme de beignet.
La découverte des propriétés spatiales fondamentales des espaces définis est un objectif principal de la topologie. Une carte topologique d’ensemble de niveau de base est appelée un ensemble d’espaces euclidiens. Les espaces sont classés par leur nombre de dimensions, où une ligne est un espace dans une dimension et un plan un espace dans deux. L’espace vécu par les êtres humains est appelé espace euclidien tridimensionnel. Des ensembles d’espaces plus complexes sont appelés variétés, qui apparaissent différents au niveau local qu’ils ne le font à grande échelle.
Les ensembles multiples et la théorie des nœuds tentent d’expliquer les surfaces dans de nombreuses dimensions au-delà de ce qui est perceptible au niveau humain littéral, et les espaces sont liés à des invariants algébriques pour les classer. Ce processus de théorie de l’homotopie, ou la relation entre des espaces topologiques identiques, a été initié par Henri Poincaré, un mathématicien français qui a vécu de 1854 à 1912. Les mathématiciens ont prouvé le travail de Poincaré dans toutes les dimensions sauf trois, où les schémas complets de classification des topologies restent insaisissables.