Un ensemble de Mandlebrot est une fractale qui peut être tracée à l’aide d’une fonction complexe itérative. Une fractale est une image générée mathématiquement qui est grossière, irrégulière et complexe. Une fractale possède également une auto-similarité à de nombreux niveaux de grossissement, de sorte que de minuscules parties de la fractale ressemblent à des parties plus grandes. Les fractales continuent d’apparaître complexes, peu importe que vous les grossissiez, ce qui conduit certains à dire qu’elles ont une complexité infinie. L’ensemble de Mandlebrot est l’exemple le plus célèbre de fractale, composé d’un cardoïde, un objet circulaire avec une fossette sur un côté, entouré d’arrangements de plus en plus petits de cercles proches et de motifs en spirale intéressants, tous tangents les uns aux autres.
Les mathématiques sous-jacentes de l’ensemble de Mandlebrot ont été conçues en 1905 par Pierre Fatou, un mathématicien français explorant le domaine de la dynamique analytique complexe. Il aimait étudier le comportement des processus récursifs, des fonctions dont les sorties étaient réinjectées dans leurs entrées. Fatou a tenté de tracer à la main certains de ses ensembles complexes, mais trop de calculs ont été nécessaires pour que l’image complète de certains ensembles (y compris l’ensemble de Mandlebrot) apparaisse. Ce n’est qu’avec la distribution des ordinateurs de bureau que le traçage de cet ensemble est devenu pratique.
L’ensemble de Mandlebrot a été tracé pour la première fois par le professeur Benoît Mandlebrot, un mathématicien qui a inventé le terme fractale et a popularisé l’idée dans un livre de 1975 intitulé Objets fractals : forme, chance et dimension. Avant d’être appelées fractales, ces structures étaient appelées courbes monstres.
Mandlebrot a vu des connexions entre des fractales comme son ensemble de Mandlebrot et des phénomènes du monde réel, ce qui l’a incité à étudier les connexions en détail. Des structures de type fractal peuvent être trouvées dans la nature, par exemple dans la disposition des pétales sur certaines fleurs. Mandlebrot a souligné que les formes réelles dans la nature n’ont jamais la régularité fade des structures géométriques euclidiennes, mais ressemblent en fait plus à des fractales. D’autres exemples incluent les formes trouvées dans les côtes et les rivières, les plantes, les vaisseaux sanguins et les poumons, les amas de galaxies, le mouvement brownien et les modèles du marché boursier.
Parce que l’ensemble Mandlebrot est si complexe et montre une telle variation, les amateurs ont consacré des milliers d’heures à localiser des structures uniques au sein de l’ensemble, à les coder par couleur et à les partager avec d’autres. Des structures d’apparence similaire à l’ensemble complet peuvent être trouvées sur les plus petites échelles, parfois reliées à l’ensemble principal uniquement par de minuscules vrilles. La complexité apparente de l’ensemble augmente en fait avec le grossissement. Aujourd’hui, de bonnes applications logicielles sont disponibles pour les amateurs pour tracer l’ensemble de Mandlebrot et d’autres fractales et pour étudier leur apparence.