Presque tous les objets mathématiques peuvent être exprimés de plusieurs manières. Par exemple, la fraction 2/6 équivaut à 5/15 et -4/-12. Une forme canonique est un schéma spécifique que les mathématiciens utilisent pour décrire les objets d’une classe donnée d’une manière codifiée et unique. Chaque objet de la classe a une seule représentation canonique correspondant au modèle de la forme canonique.
Pour les nombres rationnels, la forme canonique est a/b, où a et b n’ont pas de facteurs communs et b est positif. Une telle fraction est généralement décrite comme étant «en termes les plus bas». Lorsqu’il est mis sous forme canonique, 2/6 devient 1/3. Si deux fractions sont de valeur égale, leurs représentations canoniques sont identiques.
Les formes canoniques ne sont pas toujours la manière la plus courante de désigner un objet mathématique. Les équations linéaires bidimensionnelles ont la forme canonique Ax + By + C = 0, où C est soit 1 soit 0. Pourtant, les mathématiciens utilisent souvent la forme à l’origine de la pente – y = mx + b – lorsqu’ils effectuent des calculs de base. La forme à l’origine de la pente n’est pas canonique ; il ne peut pas être utilisé pour décrire la ligne x = 4.
Les mathématiciens trouvent les formes canoniques particulièrement utiles lors de l’analyse de systèmes abstraits, dans lesquels deux objets peuvent sembler nettement différents mais sont mathématiquement équivalents. L’ensemble de tous les chemins fermés sur un beignet a la même structure mathématique que l’ensemble de toutes les paires ordonnées (a, b) d’entiers. Un mathématicien peut facilement voir ce lien s’il utilise des formes canoniques pour décrire les deux ensembles. Les deux ensembles ont la même représentation canonique, ils sont donc équivalents. Pour répondre à une question topologique sur les courbes d’un beignet, un mathématicien pourrait trouver plus facile de répondre à une question algébrique équivalente sur des paires ordonnées d’entiers.
De nombreux domaines d’études utilisent des matrices pour décrire les systèmes. Une matrice est définie par ses entrées individuelles, mais ces entrées ne transmettent souvent pas le caractère de la matrice. Les formes canoniques aident les mathématiciens à savoir quand deux matrices sont liées d’une manière qui pourrait ne pas être évidente autrement.
Les algèbres booléennes, la structure que les logiciens utilisent pour décrire les propositions, ont deux formes canoniques : la forme normale disjonctive et la forme normale conjonctive. Celles-ci sont algébriquement équivalentes à la factorisation ou au développement de polynômes respectivement. Un court exemple illustre ce lien.
Le directeur d’un lycée pourrait dire : L’équipe de football doit gagner l’un de ses deux premiers matchs et battre nos rivaux, les Hornets, lors de son troisième match, sinon l’entraîneur sera congédié. Cette affirmation peut être écrite logiquement comme (w1 + w2) * H + F, où « + » est l’opération logique « ou » et « * » est l’opération logique « et ». La forme normale disjonctive de cette expression est w1 *H + w2 *H + F. Sa forme normale conjonctive pour est (w1 + w2 + F) * (H + F). Ces trois expressions sont vraies dans exactement les mêmes conditions, elles sont donc logiquement équivalentes.
Les ingénieurs et les physiciens utilisent également des formes canoniques lors de l’examen des systèmes physiques. Parfois, un système sera mathématiquement similaire à un autre même s’il ne se ressemble en rien. Les équations matricielles différentielles utilisées pour modéliser l’une peuvent être identiques à celles utilisées pour modéliser l’autre. Ces similitudes deviennent apparentes lorsque les systèmes sont exprimés sous une forme canonique, telle qu’une forme canonique observable ou une forme canonique contrôlable.