Una spline è un tipo di funzione polinomiale a tratti. In matematica, le spline vengono spesso utilizzate in un tipo di interpolazione noto come interpolazione spline. Le curve spline sono utilizzate anche nella computer grafica e nella progettazione assistita da computer (CAD) per approssimare forme complesse.
L’interpolazione viene utilizzata quando esiste un insieme di punti dati discreti ed è necessario stimare altri punti dello stesso tipo di dati dai punti dati. L’interpolazione polinomiale è comunemente usata per un piccolo numero di punti dati; questo è un metodo che adatta una funzione polinomiale di n ordine a n + 1 punti dati. Quando il numero di punti diventa maggiore, tuttavia, le interpolazioni polinomiali spesso non si adattano bene ai dati. In questi casi, viene spesso utilizzata l’interpolazione spline.
Mentre l’interpolazione polinomiale adatta una curva attraverso tutti i punti dati contemporaneamente, l’interpolazione spline approssima una curva tra ciascuna coppia prossima di punti dati e somma tutte le curve per creare l’approssimazione finale. Questo è il motivo per cui le spline sono funzioni a tratti piuttosto che curve lisce. Le tecniche di interpolazione spline comunemente utilizzate includono l’interpolazione lineare, quadratica e cubica.
L’interpolazione lineare spline adatta semplicemente le linee rette attraverso ogni coppia consecutiva di punti dati. Ogni sezione di linea può avere una pendenza simile o molto diversa dall’altra sezione, a seconda della distribuzione dei dati. Per trovare il valore y su un sistema di coordinate cartesiane per un dato valore x tra due punti dati, la pendenza tra i punti dati viene moltiplicata per la distanza tra il valore x per il quale si desidera il valore y e il valore x per il punto da la sua sinistra. Questo numero viene quindi aggiunto al valore y a sinistra della posizione desiderata per ottenere l’approssimazione del valore y tra i due punti.
L’interpolazione spline quadratica approssima i dati tra punti consecutivi mediante un polinomio quadratico. Per trovare i coefficienti di queste equazioni quadratiche, possono essere applicati diversi metodi per risolvere equazioni simultanee. Le tecniche di algebra lineare o la risoluzione mediante l’uso di software per computer sono alcune delle tecniche più comuni utilizzate. Un valore y interpolato su una spline quadratica si trova utilizzando l’equazione quadratica generale, y = a*x2 + b*x + c, con i coefficienti a, b e c precedentemente determinati.
L’interpolazione spline cubica utilizza una funzione polinomiale cubica o di terzo ordine per approssimare i dati tra punti consecutivi. Questo tipo di spline viene solitamente calcolato utilizzando un software per computer o una calcolatrice grafica. Un tipo speciale di interpolazione spline cubica, chiamata interpolazione spline bloccata o completa, utilizza le pendenze fornite alle estremità della curva per aiutare a calcolare la funzione.