La teoria degli insiemi costituisce la maggior parte delle fondamenta della matematica moderna ed è stata formalizzata alla fine del 1800. La teoria degli insiemi descrive alcune idee molto fondamentali e intuitive su come le cose chiamate “elementi” o “membri” si incastrano nei gruppi. Nonostante l’apparente semplicità delle idee, la teoria degli insiemi è piuttosto rigorosa. Nel tentativo di eliminare ogni arbitrarietà nelle loro teorie, i matematici hanno perfezionato la teoria degli insiemi in misura impressionante nel corso degli anni.
Nella teoria degli insiemi un insieme è un qualsiasi gruppo ben definito di elementi o membri. Gli insiemi sono solitamente simboleggiati da lettere maiuscole in corsivo come A o B. Se due insiemi contengono gli stessi membri, possono essere mostrati come equivalenti con un segno di uguale.
Il contenuto di un insieme può essere descritto in un inglese semplice: A = tutti i mammiferi terrestri. I contenuti possono anche essere elencati tra parentesi: A = {orsi, mucche, maiali, ecc.} Per insiemi di grandi dimensioni, si possono utilizzare i puntini di sospensione, dove lo schema dell’insieme è ovvio. Ad esempio, A = {2, 4, 6, 8… 1000}. Un tipo di insieme ha zero membri, l’insieme noto come insieme vuoto. È simboleggiato da uno zero con una linea diagonale che sale da sinistra a destra. Sebbene apparentemente banale, risulta essere piuttosto importante dal punto di vista matematico.
Alcuni insiemi contengono altri insiemi, quindi vengono etichettati come superset. Gli insiemi contenuti sono sottoinsiemi. Nella teoria degli insiemi, questa relazione è indicata come “inclusione” o “contenimento”, simboleggiata da una notazione che assomiglia alla lettera U ruotata di 90 gradi a destra. Graficamente, questo può essere rappresentato come un cerchio contenuto all’interno di un altro cerchio più grande.
Alcuni insiemi comuni nella teoria degli insiemi includono N, l’insieme di tutti i numeri naturali; Z, l’insieme di tutti i numeri interi; Q, l’insieme di tutti i numeri razionali; R, l’insieme di tutti i numeri reali; e C, l’insieme di tutti i numeri complessi.
Quando due insiemi si sovrappongono ma nessuno dei due è completamente incorporato nell’altro, l’intera cosa è chiamata unione di insiemi. Questo è rappresentato da un simbolo simile alla lettera U, ma leggermente più largo. Nella notazione degli insiemi, AUB significa “l’insieme di elementi che sono membri di A o B”. Capovolgi questo simbolo e ottieni l’intersezione di A e B, che si riferisce a tutti gli elementi che sono membri di entrambi gli insiemi. Nella teoria degli insiemi gli insiemi possono anche essere “sottratti” l’uno dall’altro, ottenendo dei complementi. Ad esempio, B – A è equivalente all’insieme di elementi che sono membri di B ma non di A.
Dalle basi di cui sopra, la maggior parte della matematica è derivata. Quasi tutti i sistemi matematici contengono proprietà che possono essere descritte fondamentalmente in termini di teoria degli insiemi.